Номер 1143, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 26. Уравнения с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1143, страница 216.

Условие.

1143. Решите уравнение:

1) $x^2 + 10y + 30 = 10x - y^2 - 20;$

2) $4x^2 + y^2 + 4x = 2y - 3.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $x^2 + 10y + 30 = 10x - y^2 - 20$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^2 + 10y + 30 - 10x + y^2 + 20 = 0$

Сгруппируем члены с $x$ и с $y$ и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - 10x) + (y^2 + 10y) + 50 = 0$

Выделим полные квадраты для выражений в скобках. Для этого используем формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Для $x^2 - 10x$, чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $(\frac{10}{2})^2 = 5^2 = 25$.

Для $y^2 + 10y$, чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $(\frac{10}{2})^2 = 5^2 = 25$.

Представим число 50 как $25 + 25$ и перепишем уравнение:

$(x^2 - 10x + 25) + (y^2 + 10y + 25) = 0$

Теперь свернем полные квадраты:

$(x - 5)^2 + (y + 5)^2 = 0$

Сумма двух неотрицательных выражений (квадраты чисел всегда больше или равны нулю) равна нулю только в том случае, если каждое из этих выражений равно нулю.

Следовательно, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} (x-5)^2 = 0 \\ (y+5)^2 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $x - 5 = 0$, откуда $x = 5$.

Из второго уравнения получаем $y + 5 = 0$, откуда $y = -5$.

Ответ: $(5; -5)$.

2) $4x^2 + y^2 + 4x = 2y - 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$4x^2 + 4x + y^2 - 2y + 3 = 0$

Сгруппируем члены с $x$ и с $y$:

$(4x^2 + 4x) + (y^2 - 2y) + 3 = 0$

Выделим полные квадраты. Выражение $4x^2 + 4x$ можно представить как $(2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1$. Для полного квадрата не хватает $1^2 = 1$.

Выражение $y^2 - 2y$ можно представить как $y^2 - 2 \cdot y \cdot 1$. Для полного квадрата не хватает $1^2 = 1$.

Представим число 3 как $1 + 1 + 1$ и перегруппируем слагаемые:

$(4x^2 + 4x + 1) + (y^2 - 2y + 1) + 1 = 0$

Свернем полные квадраты:

$(2x + 1)^2 + (y - 1)^2 + 1 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$(2x + 1)^2 + (y - 1)^2 = -1$

Выражения $(2x + 1)^2$ и $(y - 1)^2$ являются квадратами, поэтому их значения всегда неотрицательны (больше или равны нулю) для любых действительных чисел $x$ и $y$.

Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательным числом: $(2x + 1)^2 + (y - 1)^2 \geq 0$.

Полученное уравнение $(2x + 1)^2 + (y - 1)^2 = -1$ не имеет решений в действительных числах, так как левая часть всегда неотрицательна, а правая часть отрицательна.

Ответ: решений нет.