Номер 1149, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 26. Уравнения с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1149, страница 217.

Условие.

1149. Можно ли утверждать, что при любом натуральном чётном значении $n$ значение выражения $(5n+10)^2-(2n+4)^2$ делится нацело на 84?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо проанализировать данное выражение и условие, что $n$ является натуральным чётным числом.

Сначала упростим выражение $(5n+10)^2 - (2n+4)^2$, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a = 5n+10$ и $b = 2n+4$.

$(5n+10)^2 - (2n+4)^2 = ((5n+10) - (2n+4)) \cdot ((5n+10) + (2n+4))$

Выполним действия в каждой из скобок:

$a-b = 5n+10 - 2n - 4 = 3n+6$

$a+b = 5n+10 + 2n + 4 = 7n+14$

Теперь перемножим полученные результаты:

$(3n+6)(7n+14)$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$3(n+2) \cdot 7(n+2) = 21(n+2)^2$

По условию задачи, $n$ — это натуральное чётное число. Любое чётное число можно представить в виде $n=2k$, где $k$ — натуральное число ($k=1, 2, 3, ...$).

Подставим $n=2k$ в упрощенное выражение:

$21(2k+2)^2$

Вынесем общий множитель 2 из скобки:

$21 \cdot (2(k+1))^2 = 21 \cdot 2^2 \cdot (k+1)^2 = 21 \cdot 4 \cdot (k+1)^2 = 84(k+1)^2$

Полученное выражение $84(k+1)^2$ состоит из произведения числа 84 и квадрата целого числа $(k+1)^2$ (поскольку $k$ — натуральное). Такое произведение всегда делится нацело на 84.

Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Да, можно утверждать, что при любом натуральном чётном значении $n$ значение выражения делится нацело на 84.