Номер 1151, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 26. Уравнения с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1151, страница 217.

Условие.

1151. Сравните значения выражений $(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 999 \cdot 1000)^2$ и $1000^{1000}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Сравним два выражения: $(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 1000)^2$ и $1000^{1000}$.

Обозначим первое выражение как $A$, а второе как $B$.

$A = (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 1000)^2 = (1000!)^2$

$B = 1000^{1000}$

Представим выражение $A$ в виде произведения двух множителей, где второй записан в обратном порядке:

$A = (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 1000) \cdot (1000 \cdot 999 \cdot 998 \cdot \dots \cdot 1)$

Теперь сгруппируем множители попарно, взяв по одному из каждого произведения. Получится произведение из 1000 членов:

$A = (1 \cdot 1000) \cdot (2 \cdot 999) \cdot (3 \cdot 998) \cdot \dots \cdot (k \cdot (1001-k)) \cdot \dots \cdot (1000 \cdot 1)$

Выражение $B$ также представим в виде произведения 1000 одинаковых множителей:

$B = 1000 \cdot 1000 \cdot 1000 \cdot \dots \cdot 1000$

Теперь сравним соответствующие множители в произведениях для $A$ и $B$. Общий вид множителя для $A$ — это $k \cdot (1001-k)$, а для $B$ — это $1000$. Сравним их для $k = 1, 2, \dots, 1000$.

• При $k=1$, множитель для $A$ равен $1 \cdot (1001 - 1) = 1 \cdot 1000 = 1000$. Он равен множителю для $B$.
• При $k=1000$, множитель для $A$ равен $1000 \cdot (1001 - 1000) = 1000 \cdot 1 = 1000$. Он также равен множителю для $B$.
• При $1 < k < 1000$, нам нужно сравнить $k(1001-k)$ с $1000$. Рассмотрим неравенство $k(1001-k) > 1000$.
  $1001k - k^2 > 1000$
  $0 > k^2 - 1001k + 1000$
  Для анализа знака квадратного трехчлена $k^2 - 1001k + 1000$ найдем его корни. Решая уравнение $x^2 - 1001x + 1000 = 0$, по теореме Виета находим корни $x_1=1$ и $x_2=1000$.
  Графиком функции $y=x^2 - 1001x + 1000$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны между корнями, то есть на интервале $(1, 1000)$.
  Следовательно, для любого целого $k$ от 2 до 999 выполняется неравенство $k^2 - 1001k + 1000 < 0$, что равносильно $k(1001-k) > 1000$.

Таким образом, мы сравниваем два произведения:

$A = (1 \cdot 1000) \cdot (2 \cdot 999) \cdot \dots \cdot (999 \cdot 2) \cdot (1000 \cdot 1)$

$B = 1000 \cdot 1000 \cdot \dots \cdot 1000 \cdot 1000$

Мы установили, что:

• Первый множитель в $A$ равен первому в $B$.
• Последний множитель в $A$ равен последнему в $B$.
• Все остальные 998 множителей в $A$ строго больше соответствующих множителей в $B$.

Так как все множители в обоих произведениях положительны, то произведение $A$ строго больше произведения $B$.

Ответ: $(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 1000)^2 > 1000^{1000}$.