Номер 4, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 27. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 4, страница 220.

Условие.

4. При каких значениях $a$, $b$ и $c$ уравнение $ax + by = c$ не имеет решений?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Рассмотрим линейное уравнение с двумя переменными $ax + by = c$. Чтобы определить, при каких значениях параметров $a$, $b$ и $c$ оно не имеет решений, проанализируем возможные случаи.

Случай 1: Хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю.

Если хотя бы один из коэффициентов при переменных ($a$ или $b$) отличен от нуля, уравнение представляет собой уравнение прямой на координатной плоскости.

• Если $b \neq 0$, уравнение можно преобразовать к виду $y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$. Это уравнение является функцией, и для любого значения $x$ можно найти соответствующее значение $y$. Следовательно, уравнение имеет бесконечное множество решений (все точки на этой прямой).
• Если $b = 0$, но $a \neq 0$, уравнение принимает вид $ax = c$, откуда $x = \frac{c}{a}$. Это уравнение задает вертикальную прямую. Решениями являются все пары чисел $(\frac{c}{a}, y)$, где $y$ — любое действительное число. В этом случае также существует бесконечное множество решений.

Таким образом, если $a \neq 0$ или $b \neq 0$, уравнение всегда имеет решения.

Случай 2: Оба коэффициента $a$ и $b$ равны нулю.

Если $a = 0$ и $b = 0$, подставим эти значения в исходное уравнение:

$0 \cdot x + 0 \cdot y = c$

$0 = c$

Теперь результат зависит от значения параметра $c$:

• Если $c \neq 0$, мы получаем неверное равенство, например, $0 = 5$. Это равенство не может быть выполнено ни при каких значениях $x$ и $y$. В этом случае уравнение не имеет решений.
• Если $c = 0$, мы получаем верное равенство $0 = 0$. Это равенство истинно для абсолютно любой пары чисел $(x, y)$. В этом случае уравнение имеет бесконечное множество решений (любая точка плоскости является решением).

Из проведенного анализа следует, что уравнение $ax + by = c$ не имеет решений только в одном случае: когда коэффициенты при переменных равны нулю, а свободный член отличен от нуля.

Ответ: Уравнение не имеет решений при $a = 0$, $b = 0$ и $c \neq 0$.