Страница 223 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1184. Графиком каких уравнений является та же прямая, что и график уравнения $2x - 5y = 3$:

1) $4x - 10y = 6$;

2) $4x - 10y = 3$;

3) $2x - 5y = 6$;

4) $5y - 2x = -3$;

5) $x - 2,5y = 1,5$;

6) $-0,4x - y = 0,6$?

Два линейных уравнения с двумя переменными, $ax + by = c$ и $dx + ey = f$, задают одну и ту же прямую, если их коэффициенты пропорциональны, то есть существует такое число $k \neq 0$, что $d = ka$, $e = kb$ и $f = kc$. Другими словами, одно уравнение можно получить из другого умножением или делением всех его членов на одно и то же ненулевое число.

Исходное уравнение: $2x - 5y = 3$. Проверим каждое из предложенных уравнений.

1) $4x - 10y = 6$
Сравним коэффициенты этого уравнения с коэффициентами исходного:
$\frac{4}{2} = 2$
$\frac{-10}{-5} = 2$
$\frac{6}{3} = 2$
Все отношения равны 2. Это означает, что второе уравнение получено из первого умножением на 2: $2 \cdot (2x - 5y) = 2 \cdot 3 \Rightarrow 4x - 10y = 6$. Следовательно, уравнения задают одну и ту же прямую.
Ответ: Да, является.

2) $4x - 10y = 3$
Сравним коэффициенты:
$\frac{4}{2} = 2$
$\frac{-10}{-5} = 2$
$\frac{3}{3} = 1$
Отношения коэффициентов при переменных равны, но отношение свободных членов отличается ($2 \neq 1$). Это означает, что графики уравнений — это параллельные, но не совпадающие прямые.
Ответ: Нет, не является.

3) $2x - 5y = 6$
Сравним с исходным уравнением $2x - 5y = 3$. Левые части уравнений ($2x - 5y$) идентичны, а правые — нет ($6 \neq 3$). Это также графики параллельных, но не совпадающих прямых.
Ответ: Нет, не является.

4) $5y - 2x = -3$
Чтобы сравнить это уравнение с исходным, умножим обе его части на -1:
$-1 \cdot (5y - 2x) = -1 \cdot (-3)$
$-5y + 2x = 3$
Переставив слагаемые в левой части, получим $2x - 5y = 3$, что полностью совпадает с исходным уравнением.
Ответ: Да, является.

5) $x - 2,5y = 1,5$
Сравним коэффициенты этого уравнения с коэффициентами исходного ($2x - 5y = 3$):
$\frac{1}{2} = 0,5$
$\frac{-2,5}{-5} = 0,5$
$\frac{1,5}{3} = 0,5$
Все отношения равны 0,5. Это означает, что данное уравнение получено из исходного делением на 2 (или умножением на 0,5). Следовательно, уравнения задают одну и ту же прямую.
Ответ: Да, является.

6) $-0,4x - y = 0,6$
Приведем это уравнение и исходное к виду с угловым коэффициентом $y = kx + b$.
Из исходного уравнения $2x - 5y = 3$ имеем: $-5y = -2x + 3 \Rightarrow y = \frac{2}{5}x - \frac{3}{5} \Rightarrow y = 0,4x - 0,6$.
Из уравнения $-0,4x - y = 0,6$ имеем: $-y = 0,4x + 0,6 \Rightarrow y = -0,4x - 0,6$.
Угловые коэффициенты $k$ у этих прямых различны ($0,4 \neq -0,4$), значит, это разные прямые, которые пересекаются в одной точке, но не совпадают.
Ответ: Нет, не является.

Таким образом, та же самая прямая является графиком уравнений, представленных в пунктах 1, 4 и 5.

1185. Составьте уравнение с двумя переменными по такому условию:

1) длина прямоугольника равна $x$ м, ширина – $y$ м, периметр – $18$ м;

2) автобус ехал $4$ ч со скоростью $x$ км/ч и $3$ ч – со скоростью $y$ км/ч, проехав всего $250$ км;

3) тетрадь стоит $x$ р., а ручка – $y$ р., $2$ ручки дороже $5$ тетрадей на $12$ р.;

4) кусок сплава массой $x$ кг, содержащего $12\%$ меди, и кусок сплава массой $y$ кг, содержащего $20\%$ меди, сплавили вместе и получили новый сплав, содержащий $9$ кг меди;

5) в одном ящике было $x$ кг конфет, а в другом – $y$ кг; после того как из первого ящика переложили во второй $8$ кг конфет, в обоих ящиках конфет стало поровну.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина. По условию, длина равна $x$ м, ширина – $y$ м, а периметр – 18 м. Подставив эти значения в формулу, получаем следующее уравнение:
$2(x+y) = 18$.
Ответ: $2(x+y)=18$.

Расстояние ($S$) вычисляется как произведение скорости ($v$) на время ($t$), то есть $S = v \cdot t$. Расстояние, которое автобус проехал за 4 часа со скоростью $x$ км/ч, равно $4x$ км. Расстояние, которое он проехал за 3 часа со скоростью $y$ км/ч, равно $3y$ км. Общее пройденное расстояние – это сумма этих двух расстояний, и по условию она равна 250 км. Таким образом, составляем уравнение:
$4x + 3y = 250$.
Ответ: $4x+3y=250$.

Стоимость 5 тетрадей составляет $5 \cdot x = 5x$ рублей. Стоимость 2 ручек составляет $2 \cdot y = 2y$ рублей. Условие "2 ручки дороже 5 тетрадей на 12 р." означает, что разница между стоимостью двух ручек и стоимостью пяти тетрадей равна 12 рублям. Это можно записать в виде уравнения:
$2y - 5x = 12$.
Ответ: $2y-5x=12$.

Массу чистого вещества в сплаве можно найти, умножив общую массу сплава на процентное содержание вещества (выраженное в долях). Масса меди в первом куске сплава: $0.12x$ кг. Масса меди во втором куске сплава: $0.20y$ кг. Общая масса меди в новом сплаве равна сумме масс меди из двух исходных кусков. По условию, эта масса равна 9 кг. Следовательно, уравнение выглядит так:
$0.12x + 0.20y = 9$.
Ответ: $0.12x+0.20y=9$.

Изначально в первом ящике было $x$ кг конфет, а во втором – $y$ кг. После того как из первого ящика взяли 8 кг конфет, в нем осталось $(x - 8)$ кг. Эти 8 кг конфет добавили во второй ящик, и в нем стало $(y + 8)$ кг. По условию, после этого количество конфет в ящиках сравнялось. Это равенство можно записать в виде уравнения:
$x - 8 = y + 8$.
Ответ: $x-8=y+8$.

1186. Составьте уравнение с двумя переменными по такому условию:

1) боковая сторона равнобедренного треугольника равна $a$ см, основание – $b$ см, периметр – $32$ см;

$2a + b = 32$

2) один автомобиль проехал со скоростью $x$ км/ч за $6$ ч на $32$ км меньше, чем другой автомобиль со скоростью $y$ км/ч проехал за $7$ ч;

$6x = 7y - 32$

3) в одном магазине было $x$ ц яблок, а во втором – $y$ ц; за день в первом магазине продали $14\%$ яблок, а во втором – $18\%$ яблок, причём во втором магазине продали на $1,2$ ц яблок меньше, чем в первом.

$0.18y = 0.14x - 1.2$

1) Периметр равнобедренного треугольника – это сумма длин его трех сторон. В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны. Пусть боковая сторона равна $a$ см, а основание – $b$ см. Тогда периметр $P$ вычисляется по формуле:
$P = a + a + b = 2a + b$
По условию, периметр равен 32 см. Подставим это значение в формулу, чтобы составить уравнение:
$2a + b = 32$
Ответ: $2a + b = 32$

2) Расстояние, пройденное автомобилем, равно произведению его скорости на время в пути ($S = v \cdot t$).
Расстояние, которое проехал первый автомобиль со скоростью $x$ км/ч за 6 ч, равно $6x$ км.
Расстояние, которое проехал второй автомобиль со скоростью $y$ км/ч за 7 ч, равно $7y$ км.
По условию, первый автомобиль проехал на 32 км меньше, чем второй. Это означает, что разница между расстоянием, пройденным вторым автомобилем, и расстоянием, пройденным первым, составляет 32 км. Составим уравнение:
$7y - 6x = 32$
Ответ: $7y - 6x = 32$

3) Найдем количество яблок (в центнерах), проданных в каждом магазине. Чтобы найти процент от числа, нужно это число умножить на дробь, соответствующую проценту.
В первом магазине было $x$ ц яблок, продали 14%. Количество проданных яблок составляет:
$x \cdot \frac{14}{100} = 0,14x$ ц
Во втором магазине было $y$ ц яблок, продали 18%. Количество проданных яблок составляет:
$y \cdot \frac{18}{100} = 0,18y$ ц
По условию, во втором магазине продали на 1,2 ц яблок меньше, чем в первом. Это значит, что если из количества яблок, проданных в первом магазине, вычесть количество яблок, проданных во втором, получится 1,2 ц. Составим уравнение:
$0,14x - 0,18y = 1,2$
Ответ: $0,14x - 0,18y = 1,2$

1187. Докажите, что прямые $5y - x = 6$ и $3x - 7y = 6$ пересекаются в точке $A (9; 3)$.

Чтобы доказать, что прямые $5y - x = 6$ и $3x - 7y = 6$ пересекаются в точке $A(9; 3)$, необходимо убедиться, что координаты этой точки удовлетворяют обоим уравнениям. Если точка принадлежит обеим прямым, она является точкой их пересечения.

1. Проверим, принадлежит ли точка $A(9; 3)$ прямой $5y - x = 6$. Для этого подставим в уравнение её координаты $x = 9$ и $y = 3$:

$5 \cdot 3 - 9 = 15 - 9 = 6$

Получено верное равенство $6 = 6$. Это означает, что точка $A(9; 3)$ лежит на первой прямой.

2. Проверим, принадлежит ли точка $A(9; 3)$ прямой $3x - 7y = 6$. Подставим в уравнение её координаты $x = 9$ и $y = 3$:

$3 \cdot 9 - 7 \cdot 3 = 27 - 21 = 6$

Получено верное равенство $6 = 6$. Это означает, что точка $A(9; 3)$ лежит и на второй прямой.

Так как точка $A(9; 3)$ принадлежит обеим прямым, она и является точкой их пересечения. Утверждение доказано.

Ответ: Координаты точки $A(9; 3)$ при подстановке в уравнения $5y - x = 6$ и $3x - 7y = 6$ превращают оба уравнения в верные числовые равенства ($6 = 6$). Это доказывает, что точка $A$ принадлежит обеим прямым, следовательно, является точкой их пересечения.

1188. Докажите, что прямые $4x - 3y = 12$ и $3x + 4y = -66$ пересекаются в точке $B(-6; -12)$.

Для того чтобы доказать, что прямые пересекаются в указанной точке, необходимо подставить координаты этой точки в уравнения обеих прямых. Если в обоих случаях получатся верные равенства, то точка принадлежит обеим прямым и, следовательно, является точкой их пересечения.

Даны уравнения двух прямых $4x - 3y = 12$ и $3x + 4y = -66$, а также точка $B(-6; -12)$. Координаты точки: $x = -6$, $y = -12$.

Проверка для прямой $4x - 3y = 12$

Подставим значения $x = -6$ и $y = -12$ в первое уравнение:

$4 \cdot (-6) - 3 \cdot (-12) = -24 - (-36) = -24 + 36 = 12$.

Получили верное равенство $12 = 12$. Это означает, что точка $B(-6; -12)$ лежит на прямой $4x - 3y = 12$.

Проверка для прямой $3x + 4y = -66$

Подставим значения $x = -6$ и $y = -12$ во второе уравнение:

$3 \cdot (-6) + 4 \cdot (-12) = -18 + (-48) = -18 - 48 = -66$.

Получили верное равенство $-66 = -66$. Это означает, что точка $B(-6; -12)$ лежит на прямой $3x + 4y = -66$.

Так как координаты точки $B(-6; -12)$ удовлетворяют уравнениям обеих прямых, эта точка принадлежит обеим прямым, а значит, является точкой их пересечения. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, поскольку подстановка координат точки $B(-6; -12)$ в уравнения прямых $4x - 3y = 12$ и $3x + 4y = -66$ приводит к верным числовым равенствам ($12 = 12$ и $-66 = -66$).

1189. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, графиком которого является прямая, проходящая через начало координат и точку:

1) $A (2; 8)$;

2) $B (-6; 15)$.

Линейное уравнение с двумя переменными, график которого является прямой, имеет общий вид $ax + by + c = 0$. Если прямая проходит через начало координат, точку $O(0; 0)$, то ее координаты должны удовлетворять уравнению. Подставим $x=0$ и $y=0$ в общее уравнение: $a \cdot 0 + b \cdot 0 + c = 0$, откуда следует, что $c = 0$. Таким образом, уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $ax + by = 0$.

Другая форма записи уравнения прямой, проходящей через начало координат, — это $y = kx$, где $k$ — угловой коэффициент. Чтобы найти $k$, можно использовать координаты второй точки $(x_1, y_1)$, через которую проходит прямая: $k = \frac{y_1}{x_1}$.

1) A (2; 8)

График проходит через начало координат $O(0; 0)$ и точку $A(2; 8)$. Используем формулу $y = kx$. Подставим в нее координаты точки $A$: $8 = k \cdot 2$ Отсюда находим угловой коэффициент $k$: $k = \frac{8}{2} = 4$ Следовательно, уравнение прямой имеет вид $y = 4x$. Чтобы записать его в общем виде $ax + by = 0$, перенесем все члены в одну сторону: $4x - y = 0$
Ответ: $4x - y = 0$.

2) B (-6; 15)

График проходит через начало координат $O(0; 0)$ и точку $B(-6; 15)$. Используем формулу $y = kx$. Подставим в нее координаты точки $B$: $15 = k \cdot (-6)$ Отсюда находим угловой коэффициент $k$: $k = \frac{15}{-6} = -\frac{5}{2}$ Следовательно, уравнение прямой имеет вид $y = -\frac{5}{2}x$. Чтобы избавиться от дроби в уравнении, умножим обе его части на 2: $2y = -5x$ Теперь запишем уравнение в общем виде $ax + by = 0$, перенеся все члены в одну сторону: $5x + 2y = 0$
Ответ: $5x + 2y = 0$.

1190. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, графиком которого является прямая, проходящая через начало координат и точку C $(8; -12)$.

Общий вид линейного уравнения, график которого представляет собой прямую, проходящую через начало координат (точку (0; 0)), имеет форму $y = kx$, где $k$ — это угловой коэффициент.

Согласно условию задачи, эта прямая также проходит через точку C с координатами (8; –12). Следовательно, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой. Подставим значения $x = 8$ и $y = -12$ в уравнение $y = kx$, чтобы найти значение коэффициента $k$:

$-12 = k \cdot 8$

Чтобы найти $k$, разделим обе части уравнения на 8:

$k = \frac{-12}{8}$

Сократим полученную дробь на 4:

$k = -\frac{3}{2}$

Теперь, зная коэффициент $k$, мы можем записать уравнение прямой:

$y = -\frac{3}{2}x$

Это уже является решением, но обычно линейное уравнение с двумя переменными представляют в общем виде $ax + by + c = 0$. Преобразуем наше уравнение к этому виду. Сначала умножим обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$2y = -3x$

Затем перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$3x + 2y = 0$

Это и есть искомое линейное уравнение с двумя переменными.

Ответ: $3x + 2y = 0$.

1191. Докажите, что не существует такого значения $a$, при котором прямая $ax - 3y = 12$ проходит через начало координат.

Чтобы доказать, что не существует такого значения a, при котором прямая $ax - 3y = 12$ проходит через начало координат, необходимо проверить, могут ли координаты начала координат удовлетворять этому уравнению.

Начало координат — это точка O с координатами $(0, 0)$. Если прямая проходит через эту точку, то при подстановке координат этой точки в уравнение прямой мы должны получить верное числовое равенство.

Подставим значения $x = 0$ и $y = 0$ в уравнение прямой $ax - 3y = 12$:

$a \cdot 0 - 3 \cdot 0 = 12$

Выполним вычисления в левой части уравнения:

$0 - 0 = 12$

В результате мы приходим к равенству:

$0 = 12$

Это равенство является ложным и, что важно, оно не зависит от значения параметра a. Это означает, что ни при каком значении a точка с координатами $(0, 0)$ не может лежать на прямой, заданной уравнением $ax - 3y = 12$.

Таким образом, мы доказали, что не существует такого значения a, при котором прямая $ax - 3y = 12$ проходит через начало координат.

Ответ: Доказано. При подстановке координат начала координат $(0, 0)$ в уравнение прямой получается неверное равенство $0 = 12$. Поскольку это равенство не зависит от параметра a, не существует такого значения a, при котором данная прямая проходила бы через начало координат.

1192. При каком значении $a$ точка пересечения прямых $2x - 3y = -6$ и $4x + y = a$ принадлежит оси абсцисс?

Нам даны уравнения двух прямых, которые образуют систему:

$ \begin{cases} 2x - 3y = -6 \\ 4x + y = a \end{cases} $

По условию, точка пересечения этих прямых принадлежит оси абсцисс. Ось абсцисс (ось Ox) — это множество всех точек, у которых ордината (координата y) равна нулю.

Следовательно, в точке пересечения $y = 0$.

Чтобы найти абсциссу (координату x) этой точки, подставим $y = 0$ в первое уравнение, так как оно не содержит параметр a:

$2x - 3 \cdot 0 = -6$

$2x = -6$

$x = -3$

Таким образом, координаты точки пересечения прямых равны $(-3, 0)$.

Поскольку эта точка также принадлежит второй прямой, ее координаты должны удовлетворять и второму уравнению $4x + y = a$. Подставим значения $x = -3$ и $y = 0$ в это уравнение, чтобы найти искомое значение a:

$4(-3) + 0 = a$

$-12 = a$

Итак, при $a = -12$ точка пересечения прямых лежит на оси абсцисс.

Ответ: -12

1193. При каком значении $b$ точка пересечения прямых $9x + 7y = 35$ и $x + by = -20$ принадлежит оси ординат?

По условию задачи, точка пересечения двух прямых принадлежит оси ординат. Ось ординат — это ось $y$. Любая точка, лежащая на оси ординат, имеет абсциссу (координату $x$), равную нулю.

Следовательно, в точке пересечения $x = 0$.

Поскольку точка пересечения принадлежит обеим прямым, ее координаты должны удовлетворять каждому из уравнений. Подставим значение $x = 0$ в первое уравнение, чтобы найти ординату (координату $y$) точки пересечения:
$9x + 7y = 35$
$9 \cdot 0 + 7y = 35$
$7y = 35$
$y = \frac{35}{7}$
$y = 5$

Таким образом, координаты точки пересечения прямых — $(0, 5)$.

Теперь подставим найденные координаты ($x=0$ и $y=5$) во второе уравнение, чтобы определить искомое значение параметра $b$:
$x + by = -20$
$0 + b \cdot 5 = -20$
$5b = -20$
$b = \frac{-20}{5}$
$b = -4$

Ответ: -4.

1194. При каких значениях $a$ и $b$ прямая $ax + by = 24$ пересекает оси координат в точках $A (-6; 0)$ и $B (0; 12)$?

Дано уравнение прямой $ax + by = 24$. Чтобы найти значения коэффициентов $a$ и $b$, мы воспользуемся тем, что прямая проходит через точки $A(-6; 0)$ и $B(0; 12)$. Если точка принадлежит прямой, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой.

Подставим координаты точки $A(-6; 0)$ в уравнение прямой. Для этой точки $x = -6$ и $y = 0$:
$a \cdot (-6) + b \cdot 0 = 24$
$-6a = 24$
Теперь мы можем найти значение коэффициента $a$:
$a = \frac{24}{-6}$
$a = -4$

Далее подставим координаты точки $B(0; 12)$ в то же уравнение. Для этой точки $x = 0$ и $y = 12$:
$a \cdot 0 + b \cdot 12 = 24$
$12b = 24$
Теперь найдем значение коэффициента $b$:
$b = \frac{24}{12}$
$b = 2$

Таким образом, мы определили, что для того чтобы прямая $ax + by = 24$ пересекала оси координат в точках $A(-6; 0)$ и $B(0; 12)$, коэффициенты должны быть равны $a = -4$ и $b = 2$.

Ответ: $a = -4, b = 2$.