Номер 1184, страница 223 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 27. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1184, страница 223.

Условие.

1184. Графиком каких уравнений является та же прямая, что и график уравнения $2x - 5y = 3$:

1) $4x - 10y = 6$;

2) $4x - 10y = 3$;

3) $2x - 5y = 6$;

4) $5y - 2x = -3$;

5) $x - 2,5y = 1,5$;

6) $-0,4x - y = 0,6$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Два линейных уравнения с двумя переменными, $ax + by = c$ и $dx + ey = f$, задают одну и ту же прямую, если их коэффициенты пропорциональны, то есть существует такое число $k \neq 0$, что $d = ka$, $e = kb$ и $f = kc$. Другими словами, одно уравнение можно получить из другого умножением или делением всех его членов на одно и то же ненулевое число.

Исходное уравнение: $2x - 5y = 3$. Проверим каждое из предложенных уравнений.

1) $4x - 10y = 6$
Сравним коэффициенты этого уравнения с коэффициентами исходного:
$\frac{4}{2} = 2$
$\frac{-10}{-5} = 2$
$\frac{6}{3} = 2$
Все отношения равны 2. Это означает, что второе уравнение получено из первого умножением на 2: $2 \cdot (2x - 5y) = 2 \cdot 3 \Rightarrow 4x - 10y = 6$. Следовательно, уравнения задают одну и ту же прямую.
Ответ: Да, является.

2) $4x - 10y = 3$
Сравним коэффициенты:
$\frac{4}{2} = 2$
$\frac{-10}{-5} = 2$
$\frac{3}{3} = 1$
Отношения коэффициентов при переменных равны, но отношение свободных членов отличается ($2 \neq 1$). Это означает, что графики уравнений — это параллельные, но не совпадающие прямые.
Ответ: Нет, не является.

3) $2x - 5y = 6$
Сравним с исходным уравнением $2x - 5y = 3$. Левые части уравнений ($2x - 5y$) идентичны, а правые — нет ($6 \neq 3$). Это также графики параллельных, но не совпадающих прямых.
Ответ: Нет, не является.

4) $5y - 2x = -3$
Чтобы сравнить это уравнение с исходным, умножим обе его части на -1:
$-1 \cdot (5y - 2x) = -1 \cdot (-3)$
$-5y + 2x = 3$
Переставив слагаемые в левой части, получим $2x - 5y = 3$, что полностью совпадает с исходным уравнением.
Ответ: Да, является.

5) $x - 2,5y = 1,5$
Сравним коэффициенты этого уравнения с коэффициентами исходного ($2x - 5y = 3$):
$\frac{1}{2} = 0,5$
$\frac{-2,5}{-5} = 0,5$
$\frac{1,5}{3} = 0,5$
Все отношения равны 0,5. Это означает, что данное уравнение получено из исходного делением на 2 (или умножением на 0,5). Следовательно, уравнения задают одну и ту же прямую.
Ответ: Да, является.

6) $-0,4x - y = 0,6$
Приведем это уравнение и исходное к виду с угловым коэффициентом $y = kx + b$.
Из исходного уравнения $2x - 5y = 3$ имеем: $-5y = -2x + 3 \Rightarrow y = \frac{2}{5}x - \frac{3}{5} \Rightarrow y = 0,4x - 0,6$.
Из уравнения $-0,4x - y = 0,6$ имеем: $-y = 0,4x + 0,6 \Rightarrow y = -0,4x - 0,6$.
Угловые коэффициенты $k$ у этих прямых различны ($0,4 \neq -0,4$), значит, это разные прямые, которые пересекаются в одной точке, но не совпадают.
Ответ: Нет, не является.

Таким образом, та же самая прямая является графиком уравнений, представленных в пунктах 1, 4 и 5.