Номер 1199, страница 224 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 27. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1199, страница 224.

Условие.

1199.Принадлежит ли графику уравнения $4x - 8y = 7$ хотя бы одна точка, у которой обе координаты целые числа?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы определить, существуют ли на графике уравнения $4x - 8y = 7$ точки с целочисленными координатами, необходимо проверить, имеет ли это уравнение решения в целых числах.

Данное уравнение является линейным диофантовым уравнением вида $ax + by = c$, где $a=4$, $b=-8$ и $c=7$.

Рассмотрим левую часть уравнения: $4x - 8y$. Оба слагаемых, $4x$ и $-8y$, содержат общий множитель 4. Вынесем его за скобки: $4(x - 2y) = 7$

Предположим, что существуют целые числа $x$ и $y$, являющиеся решением этого уравнения. В таком случае, разность $(x - 2y)$ также будет целым числом, так как целые числа замкнуты относительно операций вычитания и умножения.

Пусть $k = x - 2y$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда наше уравнение принимает вид: $4k = 7$

Из этого следует, что левая часть уравнения ($4k$) всегда является целым числом, кратным 4 (а также четным числом). Правая же часть уравнения равна 7. Число 7 не делится нацело на 4, а также является нечетным.

Мы получили противоречие: четное число, кратное 4, не может быть равно нечетному числу 7. Следовательно, наше первоначальное предположение о существовании целочисленных решений неверно.

Вывод: уравнение $4x - 8y = 7$ не имеет решений в целых числах, а значит, на его графике нет ни одной точки, обе координаты которой являются целыми числами.

Ответ: Нет, графику уравнения $4x - 8y = 7$ не принадлежит ни одна точка, у которой обе координаты — целые числа.