Страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1234. Кусок сплава меди и олова массой 5,5 кг содержит меди на 20% больше, чем олова. Найдите массу меди в этом сплаве.

Пусть масса олова в сплаве составляет $x$ кг.

Согласно условию задачи, масса меди на 20% больше массы олова. Выразим массу меди через $x$. 20% от $x$ — это $0.2x$. Значит, масса меди равна:
$x + 0.2x = 1.2x$ кг.

Общая масса сплава равна сумме масс меди и олова и по условию составляет 5,5 кг. На основе этого можно составить уравнение:
$m_{меди} + m_{олова} = 5.5$
$1.2x + x = 5.5$

Теперь решим полученное уравнение:
$2.2x = 5.5$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2,2:
$x = \frac{5.5}{2.2}$
Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10:
$x = \frac{55}{22}$
Сократим дробь на 11:
$x = \frac{5}{2} = 2.5$
Таким образом, масса олова в сплаве составляет 2,5 кг.

Нам нужно найти массу меди. Подставим найденное значение $x$ в выражение для массы меди:
Масса меди = $1.2x = 1.2 \times 2.5 = 3$ кг.

Ответ: 3 кг.

1235.Из Перми в Соликамск, расстояние между которыми равно 200 км, выехал автобус. Через 32 мин после выезда автобуса навстречу ему из Соликамска выехал автомобиль со скоростью на 20 км/ч большей, чем скорость автобуса. С какой скоростью двигался автобус, если они встретились через 1,2 ч после выезда автомобиля?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ км/ч – это скорость автобуса.

По условию, скорость автомобиля на 20 км/ч больше, следовательно, она равна $(x + 20)$ км/ч.

Автомобиль выехал через 32 минуты после автобуса. Переведем это время в часы, так как скорость дана в км/ч:
$32 \text{ мин} = \frac{32}{60} \text{ ч} = \frac{8}{15} \text{ ч}$.

Автобус и автомобиль встретились через 1,2 часа после выезда автомобиля. Это означает, что автомобиль был в пути $t_а = 1,2$ часа.
Автобус же был в пути на 32 минуты дольше, чем автомобиль. Найдем общее время движения автобуса:
$t_б = t_а + \frac{8}{15} = 1,2 + \frac{8}{15} = \frac{12}{10} + \frac{8}{15} = \frac{6}{5} + \frac{8}{15}$
Приведем дроби к общему знаменателю 15:
$t_б = \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{8}{15} = \frac{18}{15} + \frac{8}{15} = \frac{26}{15}$ часа.

Расстояние, которое проехал автобус до встречи:
$S_б = v_б \cdot t_б = x \cdot \frac{26}{15}$ км.

Расстояние, которое проехал автомобиль до встречи:
$S_а = v_а \cdot t_а = (x + 20) \cdot 1,2$ км.

Сумма расстояний, которые проехали автобус и автомобиль, равна общему расстоянию между городами – 200 км. Составим и решим уравнение:
$S_б + S_а = 200$
$\frac{26}{15}x + 1,2(x + 20) = 200$
Заменим $1,2$ на дробь $\frac{6}{5}$:
$\frac{26}{15}x + \frac{6}{5}(x + 20) = 200$
Умножим обе части уравнения на 15, чтобы избавиться от знаменателей:
$15 \cdot \frac{26}{15}x + 15 \cdot \frac{6}{5}(x + 20) = 15 \cdot 200$
$26x + 3 \cdot 6(x + 20) = 3000$
$26x + 18(x + 20) = 3000$
$26x + 18x + 360 = 3000$
$44x = 3000 - 360$
$44x = 2640$
$x = \frac{2640}{44}$
$x = 60$

Следовательно, скорость автобуса равна 60 км/ч.

Ответ: 60 км/ч.

1236. Найдите четыре последовательных нечётных натуральных числа, сумма квадратов которых равна 164.

Пусть искомые четыре последовательных нечётных натуральных числа можно представить в виде $n-3$, $n-1$, $n+1$, $n+3$, где $n$ — некоторое чётное натуральное число. Такой выбор переменных удобен, так как он упростит алгебраические преобразования.

По условию задачи, сумма квадратов этих чисел равна 164. Составим уравнение:

$(n-3)^2 + (n-1)^2 + (n+1)^2 + (n+3)^2 = 164$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(n^2 - 6n + 9) + (n^2 - 2n + 1) + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 6n + 9) = 164$

Приведём подобные слагаемые. Обратите внимание, что слагаемые, содержащие $n$ в первой степени, взаимно уничтожаются ($-6n - 2n + 2n + 6n = 0$).

$(n^2 + n^2 + n^2 + n^2) + (9 + 1 + 1 + 9) = 164$

$4n^2 + 20 = 164$

Теперь решим полученное квадратное уравнение:

$4n^2 = 164 - 20$

$4n^2 = 144$

$n^2 = \frac{144}{4}$

$n^2 = 36$

$n = \sqrt{36}$

$n_1 = 6$, $n_2 = -6$

Поскольку мы ищем натуральные числа, самое меньшее из них, $n-3$, должно быть положительным: $n-3 > 0$, следовательно, $n > 3$.

Корень $n_2 = -6$ не удовлетворяет условию $n > 3$, поэтому мы его отбрасываем. При $n = -6$ получились бы числа $-9, -7, -5, -3$, которые не являются натуральными.

Корень $n_1 = 6$ удовлетворяет условию $n > 3$. Найдём искомые числа, подставив это значение $n$:

• Первое число: $n - 3 = 6 - 3 = 3$
• Второе число: $n - 1 = 6 - 1 = 5$
• Третье число: $n + 1 = 6 + 1 = 7$
• Четвёртое число: $n + 3 = 6 + 3 = 9$

Таким образом, мы получили четыре последовательных нечётных натуральных числа: 3, 5, 7, 9.

Выполним проверку:

$3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2 = 9 + 25 + 49 + 81 = 34 + 130 = 164$

Сумма квадратов равна 164, что соответствует условию задачи.

Ответ: 3, 5, 7, 9.

1237. Докажите, что если $x + y = a - 1$, то $ax + x + ay + y + 1 = a^2$.

Для доказательства утверждения преобразуем левую часть равенства $ax + x + ay + y + 1 = a^2$, используя условие $x + y = a - 1$.

Рассмотрим выражение в левой части: $ax + x + ay + y + 1$.

Сгруппируем слагаемые для вынесения общего множителя:

$(ax + x) + (ay + y) + 1$

Вынесем $x$ из первой скобки и $y$ из второй:

$x(a + 1) + y(a + 1) + 1$

Теперь вынесем за скобку общий множитель $(a + 1)$:

$(a + 1)(x + y) + 1$

По условию задачи нам дано, что $x + y = a - 1$. Подставим это выражение в полученное нами равенство:

$(a + 1)(a - 1) + 1$

Воспользуемся формулой разности квадратов $(m - n)(m + n) = m^2 - n^2$:

$(a^2 - 1^2) + 1 = a^2 - 1 + 1$

Упростив выражение, получаем:

$a^2$

Таким образом, мы преобразовали левую часть исходного равенства к правой части, доказав тождество.

Ответ: доказано.

1238. Остаток при делении числа $a$ на 5 равен 4, а остаток при делении на 5 числа $b$ равен 3. Докажите, что значение выражения $a^2 + b^2$ кратно 5.

По условию, остаток при делении числа $a$ на 5 равен 4. Это значит, что число $a$ можно представить в виде $a = 5k + 4$, где $k$ — некоторое целое число (неполное частное).

Аналогично, остаток при делении числа $b$ на 5 равен 3. Это значит, что число $b$ можно представить в виде $b = 5m + 3$, где $m$ — некоторое целое число.

Требуется доказать, что значение выражения $a^2 + b^2$ кратно 5, то есть делится на 5 без остатка. Для этого подставим в выражение $a^2 + b^2$ наши представления для $a$ и $b$:
$a^2 + b^2 = (5k + 4)^2 + (5m + 3)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$(5k + 4)^2 = (5k)^2 + 2 \cdot 5k \cdot 4 + 4^2 = 25k^2 + 40k + 16$
$(5m + 3)^2 = (5m)^2 + 2 \cdot 5m \cdot 3 + 3^2 = 25m^2 + 30m + 9$

Теперь сложим полученные результаты:
$a^2 + b^2 = (25k^2 + 40k + 16) + (25m^2 + 30m + 9)$
Сгруппируем слагаемые:
$a^2 + b^2 = 25k^2 + 40k + 25m^2 + 30m + (16 + 9)$
$a^2 + b^2 = 25k^2 + 40k + 25m^2 + 30m + 25$

В полученном выражении каждый член делится на 5. Вынесем общий множитель 5 за скобки:
$a^2 + b^2 = 5 \cdot (5k^2 + 8k + 5m^2 + 6m + 5)$

Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, то и все выражение в скобках $(5k^2 + 8k + 5m^2 + 6m + 5)$ является целым числом. Если обозначить это целое число как $N$, то мы получим $a^2 + b^2 = 5N$.

Равенство $a^2 + b^2 = 5N$ показывает, что значение выражения $a^2 + b^2$ является произведением числа 5 и целого числа $N$, следовательно, оно кратно 5.

Ответ: Что и требовалось доказать.

1239. Выразите y через x и x через y из уравнения:

1) $x + y = 10;$

2) $2x + y = 7;$

3) $y - x = -4;$

4) $x - 6y = 1;$

5) $5y - 4x = 0;$

6) $4x + 3y = -12.$

Чтобы выразить одну переменную через другую из линейного уравнения, необходимо выполнить алгебраические преобразования так, чтобы искомая переменная осталась одна в левой (или правой) части равенства, а все остальные члены были в другой части.

1) Дано уравнение $x + y = 10$.

Выразим y через x:

Для этого оставим y в левой части, а x перенесем в правую часть, изменив его знак на противоположный.

$y = 10 - x$

Выразим x через y:

Аналогично, оставим x в левой части, а y перенесем в правую.

$x = 10 - y$

Ответ: $y = 10 - x$; $x = 10 - y$.

2) Дано уравнение $2x + y = 7$.

Выразим y через x:

Перенесем слагаемое $2x$ в правую часть уравнения, изменив его знак.

$y = 7 - 2x$

Выразим x через y:

Сначала перенесем y в правую часть.

$2x = 7 - y$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при x, то есть на 2.

$x = \frac{7 - y}{2}$

Ответ: $y = 7 - 2x$; $x = \frac{7 - y}{2}$.

3) Дано уравнение $y - x = -4$.

Выразим y через x:

Перенесем $-x$ в правую часть, поменяв знак.

$y = x - 4$

Выразим x через y:

Можно выразить x из исходного уравнения. Перенесем $-x$ вправо, а $-4$ влево, поменяв их знаки.

$y + 4 = x$

Запишем в более привычном виде:

$x = y + 4$

Ответ: $y = x - 4$; $x = y + 4$.

4) Дано уравнение $x - 6y = 1$.

Выразим y через x:

Сначала оставим слагаемое с y в левой части, перенеся x в правую.

$-6y = 1 - x$

Разделим обе части на -6. Чтобы избавиться от минуса в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на -1, что равносильно смене знаков в числителе.

$y = \frac{1 - x}{-6} = \frac{-(1 - x)}{6} = \frac{x - 1}{6}$

Выразим x через y:

Перенесем $-6y$ в правую часть, изменив знак.

$x = 1 + 6y$

Ответ: $y = \frac{x - 1}{6}$; $x = 1 + 6y$.

5) Дано уравнение $5y - 4x = 0$.

Выразим y через x:

Перенесем $-4x$ в правую часть.

$5y = 4x$

Разделим обе части на коэффициент при y, то есть на 5.

$y = \frac{4x}{5}$ или $y = \frac{4}{5}x$

Выразим x через y:

Из уравнения $5y = 4x$ выразим x, разделив обе части на 4.

$x = \frac{5y}{4}$ или $x = \frac{5}{4}y$

Ответ: $y = \frac{4}{5}x$; $x = \frac{5}{4}y$.

6) Дано уравнение $4x + 3y = -12$.

Выразим y через x:

Оставим $3y$ в левой части, перенеся $4x$ в правую.

$3y = -12 - 4x$

Разделим обе части на 3. Можно разделить почленно.

$y = \frac{-12 - 4x}{3} = \frac{-12}{3} - \frac{4x}{3} = -4 - \frac{4}{3}x$

Выразим x через y:

Оставим $4x$ в левой части, перенеся $3y$ в правую.

$4x = -12 - 3y$

Разделим обе части на 4.

$x = \frac{-12 - 3y}{4} = \frac{-12}{4} - \frac{3y}{4} = -3 - \frac{3}{4}y$

Ответ: $y = -4 - \frac{4}{3}x$; $x = -3 - \frac{3}{4}y$.

1240. Десятичная запись одного пятизначного числа состоит только из цифр 2 и 3, а другого пятизначного числа – только из цифр 3 и 4. Может ли запись произведения этих чисел состоять только из цифр 2 и 4?

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойствами делимости чисел и их сумм цифр, в частности, сравнением по модулю 9.

Пусть $A$ — пятизначное число, состоящее только из цифр 2 и 3, а $B$ — пятизначное число, состоящее только из цифр 3 и 4. Предположим, что их произведение $P = A \cdot B$ может состоять только из цифр 2 и 4.

Известно свойство, что любое натуральное число $N$ сравнимо со своей суммой цифр $S(N)$ по модулю 9. То есть, $N \equiv S(N) \pmod{9}$.

Из равенства $A \cdot B = P$ следует, что $A \cdot B \equiv P \pmod{9}$.

Применяя свойство о сумме цифр, получаем:

$S(A) \cdot S(B) \equiv S(P) \pmod{9}$

Теперь проанализируем каждую часть этого сравнения.

1. Сумма цифр числа P.

Число $P$ по предположению состоит только из цифр 2 и 4. Пусть в его записи $p_2$ двоек и $p_4$ четверок. Тогда сумма его цифр равна:

$S(P) = 2 \cdot p_2 + 4 \cdot p_4 = 2(p_2 + 2p_4)$

Из этой формулы видно, что сумма цифр числа $P$ всегда является чётным числом.

2. Произведение сумм цифр чисел A и B.

Рассмотрим, какие значения могут принимать $S(A)$ и $S(B)$.

Число $A$ состоит из 5 цифр, каждая из которых 2 или 3.Число $B$ состоит из 5 цифр, каждая из которых 3 или 4.

Вопрос в задаче "Может ли...?" означает, что если мы найдём хотя бы одну пару чисел $A$ и $B$, для которой условие не выполняется, это докажет невозможность в общем случае. Мы имеем право выбрать любые числа $A$ и $B$, удовлетворяющие условиям.

Выберем конкретные числа $A$ и $B$:

• Пусть $A = 22222$. Это число состоит только из цифр 2 и 3 (в данном случае, только из двоек). Сумма его цифр $S(A) = 2+2+2+2+2 = 10$.
• Пусть $B = 43333$. Это число состоит только из цифр 3 и 4. Сумма его цифр $S(B) = 4+3+3+3+3 = 16$.

Теперь найдём произведение их сумм цифр по модулю 9:

$S(A) \cdot S(B) = 10 \cdot 16 = 160$

Найдём остаток от деления 160 на 9:

$160 = 17 \cdot 9 + 7$

Следовательно, $S(A) \cdot S(B) \equiv 7 \pmod{9}$.

3. Противоречие.

Мы получили два условия для $S(P)$:

1. Из анализа произведения $S(A) \cdot S(B)$ для выбранных нами чисел $A$ и $B$ следует, что $S(P) \equiv 7 \pmod{9}$.
2. Из анализа состава числа $P$ следует, что $S(P)$ — чётное число.

Однако, если число $S(P)$ даёт остаток 7 при делении на 9, оно должно быть нечётным. Например, числа, дающие остаток 7 при делении на 9, — это 7, 16, 25, 34, ... . Среди них есть как чётные, так и нечётные. Но давайте проверим остатки от деления чётных чисел на 9: они могут быть только 0, 2, 4, 6, 8. Остаток не может быть нечётным числом (1, 3, 5, 7).

Докажем это: если $S(P)$ — чётное, то $S(P) = 2k$ для некоторого целого $k$. Если $S(P) \equiv 7 \pmod{9}$, то $2k \equiv 7 \pmod{9}$. Это сравнение не имеет решений в целых числах, так как левая часть всегда чётная, а правая представляет нечётные числа ($7, 16, 25, ...$).

Таким образом, мы пришли к противоречию: $S(P)$ должно быть одновременно чётным и давать остаток 7 при делении на 9, что невозможно.

Следовательно, наше первоначальное предположение неверно.

Ответ: Нет, запись произведения этих чисел не может состоять только из цифр 2 и 4.