Номер 1240, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 28. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1240, страница 235.

Условие.

1240. Десятичная запись одного пятизначного числа состоит только из цифр 2 и 3, а другого пятизначного числа – только из цифр 3 и 4. Может ли запись произведения этих чисел состоять только из цифр 2 и 4?

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойствами делимости чисел и их сумм цифр, в частности, сравнением по модулю 9.

Пусть $A$ — пятизначное число, состоящее только из цифр 2 и 3, а $B$ — пятизначное число, состоящее только из цифр 3 и 4. Предположим, что их произведение $P = A \cdot B$ может состоять только из цифр 2 и 4.

Известно свойство, что любое натуральное число $N$ сравнимо со своей суммой цифр $S(N)$ по модулю 9. То есть, $N \equiv S(N) \pmod{9}$.

Из равенства $A \cdot B = P$ следует, что $A \cdot B \equiv P \pmod{9}$.

Применяя свойство о сумме цифр, получаем:

$S(A) \cdot S(B) \equiv S(P) \pmod{9}$

Теперь проанализируем каждую часть этого сравнения.

1. Сумма цифр числа P.

Число $P$ по предположению состоит только из цифр 2 и 4. Пусть в его записи $p_2$ двоек и $p_4$ четверок. Тогда сумма его цифр равна:

$S(P) = 2 \cdot p_2 + 4 \cdot p_4 = 2(p_2 + 2p_4)$

Из этой формулы видно, что сумма цифр числа $P$ всегда является чётным числом.

2. Произведение сумм цифр чисел A и B.

Рассмотрим, какие значения могут принимать $S(A)$ и $S(B)$.

Число $A$ состоит из 5 цифр, каждая из которых 2 или 3.Число $B$ состоит из 5 цифр, каждая из которых 3 или 4.

Вопрос в задаче "Может ли...?" означает, что если мы найдём хотя бы одну пару чисел $A$ и $B$, для которой условие не выполняется, это докажет невозможность в общем случае. Мы имеем право выбрать любые числа $A$ и $B$, удовлетворяющие условиям.

Выберем конкретные числа $A$ и $B$:

• Пусть $A = 22222$. Это число состоит только из цифр 2 и 3 (в данном случае, только из двоек). Сумма его цифр $S(A) = 2+2+2+2+2 = 10$.
• Пусть $B = 43333$. Это число состоит только из цифр 3 и 4. Сумма его цифр $S(B) = 4+3+3+3+3 = 16$.

Теперь найдём произведение их сумм цифр по модулю 9:

$S(A) \cdot S(B) = 10 \cdot 16 = 160$

Найдём остаток от деления 160 на 9:

$160 = 17 \cdot 9 + 7$

Следовательно, $S(A) \cdot S(B) \equiv 7 \pmod{9}$.

3. Противоречие.

Мы получили два условия для $S(P)$:

1. Из анализа произведения $S(A) \cdot S(B)$ для выбранных нами чисел $A$ и $B$ следует, что $S(P) \equiv 7 \pmod{9}$.
2. Из анализа состава числа $P$ следует, что $S(P)$ — чётное число.

Однако, если число $S(P)$ даёт остаток 7 при делении на 9, оно должно быть нечётным. Например, числа, дающие остаток 7 при делении на 9, — это 7, 16, 25, 34, ... . Среди них есть как чётные, так и нечётные. Но давайте проверим остатки от деления чётных чисел на 9: они могут быть только 0, 2, 4, 6, 8. Остаток не может быть нечётным числом (1, 3, 5, 7).

Докажем это: если $S(P)$ — чётное, то $S(P) = 2k$ для некоторого целого $k$. Если $S(P) \equiv 7 \pmod{9}$, то $2k \equiv 7 \pmod{9}$. Это сравнение не имеет решений в целых числах, так как левая часть всегда чётная, а правая представляет нечётные числа ($7, 16, 25, ...$).

Таким образом, мы пришли к противоречию: $S(P)$ должно быть одновременно чётным и давать остаток 7 при делении на 9, что невозможно.

Следовательно, наше первоначальное предположение неверно.

Ответ: Нет, запись произведения этих чисел не может состоять только из цифр 2 и 4.