Номер 1243, страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 29. Решение систем линейных уравнений методом подстановки. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1243, страница 237.

Условие.

1243. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} 4x - 3y = 15, \\ 3x - 4y = 6; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x - 3y = 2, \\ 5x + 2y = 24; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 5y - 6x = 4, \\ 7x - 4y = -1; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 4x + 5y = 1, \\ 8x - 2y = 38; \end{cases} $

5) $ \begin{cases} 5a - 4b = 3, \\ 2a - 3b = 11; \end{cases} $

6) $ \begin{cases} 8m - 2n = 11, \\ 9m + 4n = 8. \end{cases} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 4x - 3y = 15 \\ 3x - 4y = 6 \end{cases} $$

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -4, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.

$$ \begin{cases} 3(4x - 3y) = 3 \cdot 15 \\ -4(3x - 4y) = -4 \cdot 6 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 12x - 9y = 45 \\ -12x + 16y = -24 \end{cases} $$

Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений системы:

$(12x - 9y) + (-12x + 16y) = 45 + (-24)$

$7y = 21$

$y = \frac{21}{7}$

$y = 3$

Подставим найденное значение $y = 3$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $x$:

$4x - 3 \cdot 3 = 15$

$4x - 9 = 15$

$4x = 15 + 9$

$4x = 24$

$x = \frac{24}{4}$

$x = 6$

Проверка. Подставим найденные значения $x=6$ и $y=3$ во второе исходное уравнение:

$3 \cdot 6 - 4 \cdot 3 = 18 - 12 = 6$. Равенство $6 = 6$ верно.

Ответ: $(6; 3)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - 3y = 2 \\ 5x + 2y = 24 \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными.

$$ \begin{cases} 2(2x - 3y) = 2 \cdot 2 \\ 3(5x + 2y) = 3 \cdot 24 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 4x - 6y = 4 \\ 15x + 6y = 72 \end{cases} $$

Сложим уравнения системы:

$(4x - 6y) + (15x + 6y) = 4 + 72$

$19x = 76$

$x = \frac{76}{19}$

$x = 4$

Подставим $x = 4$ во второе исходное уравнение:

$5 \cdot 4 + 2y = 24$

$20 + 2y = 24$

$2y = 24 - 20$

$2y = 4$

$y = 2$

Проверка. Подставим $x=4$ и $y=2$ в первое исходное уравнение:

$2 \cdot 4 - 3 \cdot 2 = 8 - 6 = 2$. Равенство $2 = 2$ верно.

Ответ: $(4; 2)$.

3)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 5y - 6x = 4 \\ 7x - 4y = -1 \end{cases} $$

Приведем уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$:

$$ \begin{cases} -6x + 5y = 4 \\ 7x - 4y = -1 \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 5.

$$ \begin{cases} 4(-6x + 5y) = 4 \cdot 4 \\ 5(7x - 4y) = 5 \cdot (-1) \end{cases} $$

$$ \begin{cases} -24x + 20y = 16 \\ 35x - 20y = -5 \end{cases} $$

Сложим уравнения системы:

$(-24x + 20y) + (35x - 20y) = 16 - 5$

$11x = 11$

$x = 1$

Подставим $x = 1$ в уравнение $7x - 4y = -1$:

$7 \cdot 1 - 4y = -1$

$7 - 4y = -1$

$-4y = -1 - 7$

$-4y = -8$

$y = 2$

Проверка. Подставим $x=1$ и $y=2$ в уравнение $5y - 6x = 4$:

$5 \cdot 2 - 6 \cdot 1 = 10 - 6 = 4$. Равенство $4 = 4$ верно.

Ответ: $(1; 2)$.

4)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 4x + 5y = 1 \\ 8x - 2y = 38 \end{cases} $$

Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 2:

$4x - y = 19$

Получим новую систему:

$$ \begin{cases} 4x + 5y = 1 \\ 4x - y = 19 \end{cases} $$

Решим систему методом вычитания. Вычтем из первого уравнения второе:

$(4x + 5y) - (4x - y) = 1 - 19$

$4x + 5y - 4x + y = -18$

$6y = -18$

$y = -3$

Подставим $y = -3$ в упрощенное второе уравнение $4x - y = 19$:

$4x - (-3) = 19$

$4x + 3 = 19$

$4x = 16$

$x = 4$

Проверка. Подставим $x=4$ и $y=-3$ в первое исходное уравнение:

$4 \cdot 4 + 5 \cdot (-3) = 16 - 15 = 1$. Равенство $1 = 1$ верно.

Ответ: $(4; -3)$.

5)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 5a - 4b = 3 \\ 2a - 3b = 11 \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -5.

$$ \begin{cases} 2(5a - 4b) = 2 \cdot 3 \\ -5(2a - 3b) = -5 \cdot 11 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 10a - 8b = 6 \\ -10a + 15b = -55 \end{cases} $$

Сложим уравнения системы:

$(10a - 8b) + (-10a + 15b) = 6 - 55$

$7b = -49$

$b = -7$

Подставим $b = -7$ в первое исходное уравнение:

$5a - 4(-7) = 3$

$5a + 28 = 3$

$5a = 3 - 28$

$5a = -25$

$a = -5$

Проверка. Подставим $a=-5$ и $b=-7$ во второе исходное уравнение:

$2 \cdot (-5) - 3 \cdot (-7) = -10 + 21 = 11$. Равенство $11 = 11$ верно.

Ответ: $(-5; -7)$.

6)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 8m - 2n = 11 \\ 9m + 4n = 8 \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2.

$$ \begin{cases} 2(8m - 2n) = 2 \cdot 11 \\ 9m + 4n = 8 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 16m - 4n = 22 \\ 9m + 4n = 8 \end{cases} $$

Сложим уравнения системы:

$(16m - 4n) + (9m + 4n) = 22 + 8$

$25m = 30$

$m = \frac{30}{25} = \frac{6}{5}$

Подставим $m = \frac{6}{5}$ в первое исходное уравнение:

$8 \cdot \frac{6}{5} - 2n = 11$

$\frac{48}{5} - 2n = 11$

Перенесем слагаемые:

$-2n = 11 - \frac{48}{5}$

$-2n = \frac{55}{5} - \frac{48}{5}$

$-2n = \frac{7}{5}$

$n = \frac{7}{5} \div (-2) = -\frac{7}{10}$

Проверка. Подставим $m=\frac{6}{5}$ и $n=-\frac{7}{10}$ во второе исходное уравнение:

$9 \cdot \frac{6}{5} + 4 \cdot (-\frac{7}{10}) = \frac{54}{5} - \frac{28}{10} = \frac{108}{10} - \frac{28}{10} = \frac{80}{10} = 8$. Равенство $8 = 8$ верно.

Ответ: $(\frac{6}{5}; -\frac{7}{10})$.