Страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1215. Решением каких систем уравнений является пара чисел (-5; 2):

1) $\begin{cases} 7x + 2y = 31, \\ 4x - 5y = -30; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3y - 2x = 16, \\ 6x + 7y = -16; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x - 2y = -9, \\ 10y - x = 15? \end{cases}$

Чтобы определить, решением какой из систем уравнений является пара чисел $(-5; 2)$, необходимо подставить значения $x = -5$ и $y = 2$ в каждую систему. Если оба уравнения в системе превратятся в верные числовые равенства, то данная пара чисел является решением этой системы.

1)

Проверим систему: $ \begin{cases} 7x+2y = 31, \\ 4x-5y = -30; \end{cases} $

Подставляем $x = -5$ и $y = 2$ в первое уравнение:
$7 \cdot (-5) + 2 \cdot 2 = -35 + 4 = -31$
Полученное значение $-31$ не равно $31$, поэтому равенство $7x + 2y = 31$ не выполняется. Следовательно, пара чисел $(-5; 2)$ не является решением данной системы.

Ответ: не является.

2)

Проверим систему: $ \begin{cases} 3y-2x = 16, \\ 6x+7y = -16; \end{cases} $

Подставляем $x = -5$ и $y = 2$ в первое уравнение:
$3 \cdot 2 - 2 \cdot (-5) = 6 + 10 = 16$
Равенство $16 = 16$ является верным.

Подставляем $x = -5$ и $y = 2$ во второе уравнение:
$6 \cdot (-5) + 7 \cdot 2 = -30 + 14 = -16$
Равенство $-16 = -16$ является верным.

Так как оба уравнения системы обратились в верные равенства, пара чисел $(-5; 2)$ является решением данной системы.

Ответ: является.

3)

Проверим систему: $ \begin{cases} x-2y = -9, \\ 10y-x = 15; \end{cases} $

Подставляем $x = -5$ и $y = 2$ в первое уравнение:
$(-5) - 2 \cdot 2 = -5 - 4 = -9$
Равенство $-9 = -9$ является верным.

Подставляем $x = -5$ и $y = 2$ во второе уравнение:
$10 \cdot 2 - (-5) = 20 + 5 = 25$
Полученное значение $25$ не равно $15$, поэтому равенство $10y - x = 15$ не выполняется. Следовательно, пара чисел $(-5; 2)$ не является решением данной системы.

Ответ: не является.

1216. Определите координаты точки пересечения прямых, изображённых на рисунке 85. Запишите соответствующую систему уравнений, проверьте найденное решение системы, подставив координаты точки пересечения прямых в уравнения системы.

Рис. 85

a

Линии на графике а:

$x + y = 5$

$3x + y = 1$

б

Линии на графике б:

$y + 2x = -8$

$-2x + y = 1$

а

1. Определение координат точки пересечения. По графику видно, что прямые пересекаются в точке, абсцисса которой равна 1, а ордината равна 4. Следовательно, координаты точки пересечения (1, 4).

2. Запись системы уравнений. Уравнения прямых указаны на рисунке: $x + y = 5$ и $3x + y = 7$. Соответствующая система уравнений будет выглядеть так: $$ \begin{cases} x + y = 5 \\ 3x + y = 7 \end{cases} $$

3. Проверка найденного решения. Подставим координаты точки пересечения (1, 4) в оба уравнения системы:
Для первого уравнения: $1 + 4 = 5$. Получаем $5 = 5$. Равенство верное.
Для второго уравнения: $3 \cdot 1 + 4 = 7$. Получаем $3 + 4 = 7$, или $7 = 7$. Равенство верное.
Поскольку координаты точки удовлетворяют обоим уравнениям, решение найдено правильно.

Ответ: Координаты точки пересечения (1, 4).

б

1. Определение координат точки пересечения. По графику видно, что прямые пересекаются в точке, абсцисса которой равна -1, а ордината равна -1. Следовательно, координаты точки пересечения (-1, -1).

2. Запись системы уравнений. Уравнения прямых указаны на рисунке: $-2x + y = 1$ и $2x + y = -3$. Соответствующая система уравнений будет выглядеть так: $$ \begin{cases} -2x + y = 1 \\ 2x + y = -3 \end{cases} $$

3. Проверка найденного решения. Подставим координаты точки пересечения (-1, -1) в оба уравнения системы:
Для первого уравнения: $-2(-1) + (-1) = 1$. Получаем $2 - 1 = 1$, или $1 = 1$. Равенство верное.
Для второго уравнения: $2(-1) + (-1) = -3$. Получаем $-2 - 1 = -3$, или $-3 = -3$. Равенство верное.
Поскольку координаты точки удовлетворяют обоим уравнениям, решение найдено правильно.

Ответ: Координаты точки пересечения (-1, -1).

1217.Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} x - y = 1, \\ x + 2y = 7; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = 0, \\ 3x - y = 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + y = -5, \\ 4x - y = -5; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2x + 3y = 6, \\ 3x - y = 9; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 2x + y = 8, \\ 2x - y = 0; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 7x - 3y = -26, \\ y - 2x = 8. \end{cases}$

Чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить график каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точки пересечения этих графиков являются решением системы.

1) Решим систему $\begin{cases} x - y = 1, \\ x + 2y = 7 \end{cases}$.

Для построения графиков выразим y через x в каждом уравнении.
1. Из первого уравнения $x - y = 1$ получаем $y = x - 1$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения найдем две точки:
- если $x = 0$, то $y = -1$. Точка $(0; -1)$.
- если $x = 1$, то $y = 0$. Точка $(1; 0)$.
2. Из второго уравнения $x + 2y = 7$ получаем $2y = 7 - x$, то есть $y = -\frac{1}{2}x + 3.5$. Это также прямая. Найдем две точки:
- если $x = 1$, то $y = -0.5 \cdot 1 + 3.5 = 3$. Точка $(1; 3)$.
- если $x = 3$, то $y = -0.5 \cdot 3 + 3.5 = -1.5 + 3.5 = 2$. Точка $(3; 2)$.
Построив обе прямые на координатной плоскости, найдем их точку пересечения.
Точка пересечения имеет координаты $(3; 2)$.

Ответ: $(3; 2)$.

2) Решим систему $\begin{cases} x + y = 0, \\ 3x - y = 4 \end{cases}$.

1. Из $x + y = 0$ получаем $y = -x$. Точки для построения:
- если $x = 0$, то $y = 0$. Точка $(0; 0)$.
- если $x = 2$, то $y = -2$. Точка $(2; -2)$.
2. Из $3x - y = 4$ получаем $y = 3x - 4$. Точки для построения:
- если $x = 0$, то $y = -4$. Точка $(0; -4)$.
- если $x = 1$, то $y = 3 \cdot 1 - 4 = -1$. Точка $(1; -1)$.
Построив графики, видим, что они пересекаются в точке $(1; -1)$.

Ответ: $(1; -1)$.

3) Решим систему $\begin{cases} x + y = -5, \\ 4x - y = -5 \end{cases}$.

1. Из $x + y = -5$ получаем $y = -x - 5$. Точки для построения:
- если $x = 0$, то $y = -5$. Точка $(0; -5)$.
- если $x = -5$, то $y = 0$. Точка $(-5; 0)$.
2. Из $4x - y = -5$ получаем $y = 4x + 5$. Точки для построения:
- если $x = 0$, то $y = 5$. Точка $(0; 5)$.
- если $x = -2$, то $y = 4(-2) + 5 = -8 + 5 = -3$. Точка $(-2; -3)$.
Графики пересекаются в точке $(-2; -3)$.

Ответ: $(-2; -3)$.

4) Решим систему $\begin{cases} 2x + 3y = 6, \\ 3x - y = 9 \end{cases}$.

1. Из $2x + 3y = 6$ получаем $3y = 6 - 2x$, то есть $y = -\frac{2}{3}x + 2$. Точки для построения:
- если $x = 0$, то $y = 2$. Точка $(0; 2)$.
- если $x = 3$, то $y = -\frac{2}{3} \cdot 3 + 2 = -2 + 2 = 0$. Точка $(3; 0)$.
2. Из $3x - y = 9$ получаем $y = 3x - 9$. Точки для построения:
- если $x = 0$, то $y = -9$. Точка $(0; -9)$.
- если $x = 3$, то $y = 3 \cdot 3 - 9 = 0$. Точка $(3; 0)$.
Графики пересекаются в точке $(3; 0)$.

Ответ: $(3; 0)$.

5) Решим систему $\begin{cases} 2x + y = 8, \\ 2x - y = 0 \end{cases}$.

1. Из $2x + y = 8$ получаем $y = -2x + 8$. Точки для построения:
- если $x = 0$, то $y = 8$. Точка $(0; 8)$.
- если $x = 4$, то $y = -2 \cdot 4 + 8 = 0$. Точка $(4; 0)$.
2. Из $2x - y = 0$ получаем $y = 2x$. Точки для построения:
- если $x = 0$, то $y = 0$. Точка $(0; 0)$.
- если $x = 2$, то $y = 2 \cdot 2 = 4$. Точка $(2; 4)$.
Построив графики, находим точку пересечения $(2; 4)$.

Ответ: $(2; 4)$.

6) Решим систему $\begin{cases} 7x - 3y = -26, \\ y - 2x = 8 \end{cases}$.

1. Из $7x - 3y = -26$ получаем $3y = 7x + 26$, то есть $y = \frac{7}{3}x + \frac{26}{3}$. Точки для построения:
- если $x = -2$, то $y = \frac{7}{3}(-2) + \frac{26}{3} = -\frac{14}{3} + \frac{26}{3} = \frac{12}{3} = 4$. Точка $(-2; 4)$.
- если $x = 1$, то $y = \frac{7}{3}(1) + \frac{26}{3} = \frac{33}{3} = 11$. Точка $(1; 11)$.
2. Из $y - 2x = 8$ получаем $y = 2x + 8$. Точки для построения:
- если $x = 0$, то $y = 8$. Точка $(0; 8)$.
- если $x = -2$, то $y = 2(-2) + 8 = -4 + 8 = 4$. Точка $(-2; 4)$.
Графики пересекаются в точке $(-2; 4)$.

Ответ: $(-2; 4)$.