Страница 238 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1245. Найдите решение системы уравнений:

1) $\begin{cases}6 - 5(x - y) = 7x + 4y, \\3(x + 1) - (6x + 8y) = 69 + 3y;\end{cases}$

2) $\begin{cases}\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2, \\5x - y = 34;\end{cases}$

3) $\begin{cases}6y - 5x = 1, \\\frac{x - 1}{2} + \frac{3y - x}{4} = -4\frac{3}{4};\end{cases}$

4) $\begin{cases}\frac{1,5x - 3}{3} + \frac{7 - 3y}{8} = 3, \\\frac{2,5x - 2}{3} - \frac{2y + 1}{6} = x - 0,5.\end{cases}$

1) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 6 - 5(x - y) = 7x + 4y, \\ 3(x + 1) - (6x + 8y) = 69 + 3y; \end{cases}$

Сначала упростим каждое уравнение, раскрыв скобки.

Первое уравнение: $6 - 5x + 5y = 7x + 4y$. Перенесем переменные в одну часть, а константы в другую: $5y - 4y = 7x + 5x - 6$, что дает $y = 12x - 6$.

Второе уравнение: $3x + 3 - 6x - 8y = 69 + 3y$. Перенесем переменные и константы: $3x - 6x - 8y - 3y = 69 - 3$, что дает $-3x - 11y = 66$.

Теперь у нас есть система:

$\begin{cases} y = 12x - 6, \\ -3x - 11y = 66. \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$-3x - 11(12x - 6) = 66$

$-3x - 132x + 66 = 66$

$-135x = 66 - 66$

$-135x = 0$

$x = 0$

Теперь найдем $y$, подставив $x = 0$ в первое упрощенное уравнение:

$y = 12(0) - 6 = -6$

Решение системы: $(0, -6)$.

Ответ: $(0, -6)$.

2) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2, \\ 5x - y = 34; \end{cases}$

Упростим первое уравнение, умножив его на наименьший общий знаменатель 6, чтобы избавиться от дробей:

$6 \cdot (\frac{x}{2}) - 6 \cdot (\frac{y}{3}) = 6 \cdot 2$

$3x - 2y = 12$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 3x - 2y = 12, \\ 5x - y = 34. \end{cases}$

Из второго уравнения удобно выразить $y$: $y = 5x - 34$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3x - 2(5x - 34) = 12$

$3x - 10x + 68 = 12$

$-7x = 12 - 68$

$-7x = -56$

$x = 8$

Теперь найдем $y$, подставив $x = 8$ в выражение для $y$:

$y = 5(8) - 34 = 40 - 34 = 6$

Решение системы: $(8, 6)$.

Ответ: $(8, 6)$.

3) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 6y - 5x = 1, \\ \frac{x - 1}{2} + \frac{3y - x}{4} = -4\frac{3}{4}; \end{cases}$

Упростим второе уравнение. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-4\frac{3}{4} = -\frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = -\frac{19}{4}$.

Умножим второе уравнение на общий знаменатель 4:

$4 \cdot \frac{x - 1}{2} + 4 \cdot \frac{3y - x}{4} = 4 \cdot (-\frac{19}{4})$

$2(x - 1) + (3y - x) = -19$

$2x - 2 + 3y - x = -19$

$x + 3y = -19 + 2$

$x + 3y = -17$

Теперь система выглядит так (запишем первое уравнение в стандартном виде):

$\begin{cases} -5x + 6y = 1, \\ x + 3y = -17. \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = -17 - 3y$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$-5(-17 - 3y) + 6y = 1$

$85 + 15y + 6y = 1$

$21y = 1 - 85$

$21y = -84$

$y = -4$

Теперь найдем $x$, подставив $y = -4$ в выражение для $x$:

$x = -17 - 3(-4) = -17 + 12 = -5$

Решение системы: $(-5, -4)$.

Ответ: $(-5, -4)$.

4) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{1,5x - 3}{3} + \frac{7 - 3y}{8} = 3, \\ \frac{2,5x - 2}{3} - \frac{2y + 1}{6} = x - 0,5; \end{cases}$

Упростим первое уравнение, умножив его на общий знаменатель 24:

$24 \cdot \frac{1,5x - 3}{3} + 24 \cdot \frac{7 - 3y}{8} = 24 \cdot 3$

$8(1,5x - 3) + 3(7 - 3y) = 72$

$12x - 24 + 21 - 9y = 72$

$12x - 9y - 3 = 72$

$12x - 9y = 75$

Разделим обе части на 3 для упрощения: $4x - 3y = 25$.

Упростим второе уравнение, умножив его на общий знаменатель 6 и представив $0,5$ как $\frac{1}{2}$:

$6 \cdot \frac{2,5x - 2}{3} - 6 \cdot \frac{2y + 1}{6} = 6 \cdot (x - 0,5)$

$2(2,5x - 2) - (2y + 1) = 6x - 3$

$5x - 4 - 2y - 1 = 6x - 3$

$5x - 2y - 5 = 6x - 3$

$5x - 6x - 2y = -3 + 5$

$-x - 2y = 2$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 4x - 3y = 25, \\ -x - 2y = 2. \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $-x = 2 + 2y$, откуда $x = -2 - 2y$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$4(-2 - 2y) - 3y = 25$

$-8 - 8y - 3y = 25$

$-11y = 25 + 8$

$-11y = 33$

$y = -3$

Теперь найдем $x$, подставив $y = -3$ в выражение для $x$:

$x = -2 - 2(-3) = -2 + 6 = 4$

Решение системы: $(4, -3)$.

Ответ: $(4, -3)$.

1246. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 6x + 3 = 5x - 4(5y + 4) \\ 3(2x - 3y) - 6x = 8 - y \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x+3}{2} - \frac{y-4}{7} = 1 \\ 6y - x = 5 \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{x+y}{8} + \frac{x-y}{6} = 4 \\ \frac{3x+y}{4} - \frac{2x-5y}{3} = 5 \end{cases}$

1)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 6x + 3 = 5x - 4(5y + 4) \\ 3(2x - 3y) - 6x = 8 - y \end{cases} $

Сначала упростим каждое уравнение. Начнем с первого:

$6x + 3 = 5x - 20y - 16$
$6x - 5x + 20y = -16 - 3$
$x + 20y = -19$

Теперь упростим второе уравнение:

$6x - 9y - 6x = 8 - y$
$-9y = 8 - y$
$-9y + y = 8$
$-8y = 8$
$y = -1$

Мы нашли значение $y$. Теперь подставим $y = -1$ в упрощенное первое уравнение, чтобы найти $x$:

$x + 20(-1) = -19$
$x - 20 = -19$
$x = -19 + 20$
$x = 1$

Ответ: $(1; -1)$.

2)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x + 3}{2} - \frac{y - 4}{7} = 1 \\ 6y - x = 5 \end{cases} $

Упростим первое уравнение. Для этого умножим обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 7, то есть на 14:

$14 \cdot \frac{x + 3}{2} - 14 \cdot \frac{y - 4}{7} = 14 \cdot 1$
$7(x + 3) - 2(y - 4) = 14$
$7x + 21 - 2y + 8 = 14$
$7x - 2y + 29 = 14$
$7x - 2y = 14 - 29$
$7x - 2y = -15$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} 7x - 2y = -15 \\ 6y - x = 5 \end{cases} $

Выразим $x$ из второго уравнения:

$6y - 5 = x$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение:

$7(6y - 5) - 2y = -15$
$42y - 35 - 2y = -15$
$40y = 35 - 15$
$40y = 20$
$y = \frac{20}{40} = 0,5$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y = 0,5$ в выражение $x = 6y - 5$:

$x = 6 \cdot 0,5 - 5$
$x = 3 - 5$
$x = -2$

Ответ: $(-2; 0,5)$.

3)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x + y}{8} + \frac{x - y}{6} = 4 \\ \frac{3x + y}{4} - \frac{2x - 5y}{3} = 5 \end{cases} $

Упростим первое уравнение, умножив его на наименьшее общее кратное знаменателей 8 и 6, то есть на 24:

$24 \cdot \frac{x + y}{8} + 24 \cdot \frac{x - y}{6} = 24 \cdot 4$
$3(x + y) + 4(x - y) = 96$
$3x + 3y + 4x - 4y = 96$
$7x - y = 96$

Упростим второе уравнение, умножив его на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 3, то есть на 12:

$12 \cdot \frac{3x + y}{4} - 12 \cdot \frac{2x - 5y}{3} = 12 \cdot 5$
$3(3x + y) - 4(2x - 5y) = 60$
$9x + 3y - 8x + 20y = 60$
$x + 23y = 60$

Получили упрощенную систему:

$ \begin{cases} 7x - y = 96 \\ x + 23y = 60 \end{cases} $

Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 60 - 23y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$7(60 - 23y) - y = 96$
$420 - 161y - y = 96$
$420 - 162y = 96$
$-162y = 96 - 420$
$-162y = -324$
$y = \frac{-324}{-162} = 2$

Теперь найдем $x$, подставив $y = 2$ в выражение $x = 60 - 23y$:

$x = 60 - 23 \cdot 2$
$x = 60 - 46$
$x = 14$

Ответ: $(14; 2)$.

1247. Во время работы фонарика батарейка разряжается, и напряжение в электрической цепи фонарика уменьшается. На рисунке 86 изображён график изменения напряжения в цепи во время работы фонарика. Пользуясь этим графиком, определите:

1) каким было напряжение в цепи:

а) в момент включения фонарика;

б) через 6 ч после начала работы фонарика;

2) через сколько часов после включения фонарика напряжение было равным $1\text{ В}$;

3) за сколько часов работы напряжение уменьшилось с $1.6\text{ В}$ до $1.2\text{ В}$.

Рис. 86

Напряжение, В

Время, ч

1) а) каким было напряжение в цепи: в момент включения фонарика;

Для определения напряжения в момент включения фонарика ($t=0$ ч) необходимо найти соответствующую точку на графике. Эта точка находится на пересечении кривой с осью ординат (осью напряжения). По графику видно, что в начальный момент времени $t=0$ напряжение $U$ составляло $1,8 \text{ В}$.

Ответ: $1,8 \text{ В}$.

1) б) каким было напряжение в цепи: через 6 ч после начала работы фонарика;

Чтобы найти напряжение через 6 часов работы, необходимо найти на горизонтальной оси времени (ось абсцисс) отметку $t=6 \text{ ч}$. Затем нужно подняться по вертикальной линии до пересечения с графиком. От этой точки на графике следует провести горизонтальную линию влево до пересечения с вертикальной осью напряжения (осью ординат). Значение в точке пересечения составляет $1,4 \text{ В}$.

Ответ: $1,4 \text{ В}$.

2) через сколько часов после включения фонарика напряжение было равным 1 В;

Для ответа на этот вопрос нужно выполнить обратную операцию. Найдём на вертикальной оси напряжение, равное $1 \text{ В}$. От этой точки проведём горизонтальную линию вправо до пересечения с графиком. Из точки пересечения опустим перпендикуляр на горизонтальную ось времени. Значение на оси времени в этой точке составляет $20 \text{ ч}$.

Ответ: через $20 \text{ ч}$.

3) за сколько часов работы напряжение уменьшилось с 1,6 В до 1,2 В.

Чтобы определить этот промежуток времени, сначала найдем, в какой момент времени напряжение составляло $1,6 \text{ В}$. По графику, при напряжении $U_1=1,6 \text{ В}$ время работы $t_1$ составляет $2 \text{ ч}$.

Затем найдем, в какой момент времени напряжение стало равно $1,2 \text{ В}$. По графику, при напряжении $U_2=1,2 \text{ В}$ время работы $t_2$ составляет $12 \text{ ч}$.

Искомый промежуток времени $\Delta t$ равен разности между $t_2$ и $t_1$:
$\Delta t = t_2 - t_1 = 12 \text{ ч} - 2 \text{ ч} = 10 \text{ ч}$.

Ответ: за $10 \text{ ч}$.