Страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1260. Решите систему уравнений методом сложения:

1) $\begin{cases} 4x - y = 20, \\ 4x + y = 12; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 9x + 17y = 52, \\ 26x - 17y = 18; \end{cases}$

3) $\begin{cases} -5x + 7y = 2, \\ 8x + 7y = 15; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 9x - 6y = 24, \\ 9x + 8y = 10. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4x - y = 20, \\ 4x + y = 12. \end{cases}$

Для решения системы методом сложения сложим почленно левые и правые части уравнений. Коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($-1$ и $1$), поэтому при сложении они взаимно уничтожатся.

$(4x - y) + (4x + y) = 20 + 12$

$4x + 4x - y + y = 32$

$8x = 32$

Найдем $x$:

$x = \frac{32}{8}$

$x = 4$

Теперь подставим найденное значение $x=4$ в любое из уравнений системы, чтобы найти $y$. Возьмем второе уравнение $4x + y = 12$:

$4(4) + y = 12$

$16 + y = 12$

$y = 12 - 16$

$y = -4$

Решением системы является пара чисел $(4; -4)$.

Ответ: $(4; -4)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 9x + 17y = 52, \\ 26x - 17y = 18. \end{cases}$

Сложим почленно уравнения системы. Коэффициенты при переменной $y$ ($17$ и $-17$) являются противоположными числами, поэтому эта переменная сократится.

$(9x + 17y) + (26x - 17y) = 52 + 18$

$9x + 26x + 17y - 17y = 70$

$35x = 70$

Найдем $x$:

$x = \frac{70}{35}$

$x = 2$

Подставим значение $x=2$ в первое уравнение $9x + 17y = 52$ для нахождения $y$:

$9(2) + 17y = 52$

$18 + 17y = 52$

$17y = 52 - 18$

$17y = 34$

$y = \frac{34}{17}$

$y = 2$

Решением системы является пара чисел $(2; 2)$.

Ответ: $(2; 2)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} -5x + 7y = 2, \\ 8x + 7y = 15. \end{cases}$

Коэффициенты при переменной $y$ в обоих уравнениях одинаковы. Чтобы исключить $y$, вычтем из второго уравнения первое.

$(8x + 7y) - (-5x + 7y) = 15 - 2$

$8x + 7y + 5x - 7y = 13$

$13x = 13$

Найдем $x$:

$x = \frac{13}{13}$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x=1$ во второе уравнение $8x + 7y = 15$, чтобы найти $y$:

$8(1) + 7y = 15$

$8 + 7y = 15$

$7y = 15 - 8$

$7y = 7$

$y = \frac{7}{7}$

$y = 1$

Решением системы является пара чисел $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 9x - 6y = 24, \\ 9x + 8y = 10. \end{cases}$

Коэффициенты при переменной $x$ одинаковы. Чтобы исключить $x$, вычтем из первого уравнения второе.

$(9x - 6y) - (9x + 8y) = 24 - 10$

$9x - 6y - 9x - 8y = 14$

$-14y = 14$

Найдем $y$:

$y = \frac{14}{-14}$

$y = -1$

Подставим значение $y=-1$ в первое уравнение $9x - 6y = 24$ для нахождения $x$:

$9x - 6(-1) = 24$

$9x + 6 = 24$

$9x = 24 - 6$

$9x = 18$

$x = \frac{18}{9}$

$x = 2$

Решением системы является пара чисел $(2; -1)$.

Ответ: $(2; -1)$.

1261. Решите систему уравнений методом сложения:

1) $\begin{cases} x - 3y = 5 \\ 4x + 9y = 41 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 10x + 2y = 12 \\ -5x + 4y = -6 \end{cases}$

3) $\begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ 12x + 7y = -26 \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x + 8y = 13 \\ 2x - 3y = 17 \end{cases}$

5) $\begin{cases} 3x - 4y = 16 \\ 5x + 6y = 14 \end{cases}$

6) $\begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 3x + 5y = 8 \end{cases}$

7) $\begin{cases} 5u - 7v = 24 \\ 7u + 6v = 2 \end{cases}$

8) $\begin{cases} 0,2x + 1,5y = 10 \\ 0,4x - 0,3y = 0,2 \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - 3y = 5 \\ 4x + 9y = 41 \end{cases} $
Чтобы использовать метод сложения, нужно сделать коэффициенты при одной из переменных противоположными. Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали $-9$ и $9$.
$3(x - 3y) = 3 \cdot 5$
$3x - 9y = 15$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 3x - 9y = 15 \\ 4x + 9y = 41 \end{cases} $
Сложим левые и правые части уравнений:
$(3x - 9y) + (4x + 9y) = 15 + 41$
$7x = 56$
$x = \frac{56}{7} = 8$
Подставим найденное значение $x$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $y$:
$8 - 3y = 5$
$-3y = 5 - 8$
$-3y = -3$
$y = 1$
Ответ: $(8; 1)$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 10x + 2y = 12 \\ -5x + 4y = -6 \end{cases} $
Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными ($10$ и $-10$).
$2(-5x + 4y) = 2 \cdot (-6)$
$-10x + 8y = -12$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 10x + 2y = 12 \\ -10x + 8y = -12 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(10x + 2y) + (-10x + 8y) = 12 + (-12)$
$10y = 0$
$y = 0$
Подставим $y = 0$ в первое исходное уравнение:
$10x + 2 \cdot 0 = 12$
$10x = 12$
$x = \frac{12}{10} = 1,2$
Ответ: $(1,2; 0)$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ 12x + 7y = -26 \end{cases} $
Умножим первое уравнение на -4, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными ($-12$ и $12$).
$-4(3x - 2y) = -4 \cdot 1$
$-12x + 8y = -4$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} -12x + 8y = -4 \\ 12x + 7y = -26 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(-12x + 8y) + (12x + 7y) = -4 + (-26)$
$15y = -30$
$y = \frac{-30}{15} = -2$
Подставим $y = -2$ в первое исходное уравнение:
$3x - 2(-2) = 1$
$3x + 4 = 1$
$3x = 1 - 4$
$3x = -3$
$x = -1$
Ответ: $(-1; -2)$.

4) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x + 8y = 13 \\ 2x - 3y = 17 \end{cases} $
Чтобы уравнять коэффициенты при $x$, умножим первое уравнение на 2, а второе на -3.
$2(3x + 8y) = 2 \cdot 13 \implies 6x + 16y = 26$
$-3(2x - 3y) = -3 \cdot 17 \implies -6x + 9y = -51$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 6x + 16y = 26 \\ -6x + 9y = -51 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(6x + 16y) + (-6x + 9y) = 26 + (-51)$
$25y = -25$
$y = -1$
Подставим $y = -1$ в первое исходное уравнение:
$3x + 8(-1) = 13$
$3x - 8 = 13$
$3x = 21$
$x = 7$
Ответ: $(7; -1)$.

5) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x - 4y = 16 \\ 5x + 6y = 14 \end{cases} $
Чтобы уравнять коэффициенты при $y$, умножим первое уравнение на 3, а второе на 2.
$3(3x - 4y) = 3 \cdot 16 \implies 9x - 12y = 48$
$2(5x + 6y) = 2 \cdot 14 \implies 10x + 12y = 28$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 9x - 12y = 48 \\ 10x + 12y = 28 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(9x - 12y) + (10x + 12y) = 48 + 28$
$19x = 76$
$x = \frac{76}{19} = 4$
Подставим $x = 4$ во второе исходное уравнение:
$5(4) + 6y = 14$
$20 + 6y = 14$
$6y = 14 - 20$
$6y = -6$
$y = -1$
Ответ: $(4; -1)$.

6) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 3x + 5y = 8 \end{cases} $
Чтобы уравнять коэффициенты при $x$, умножим первое уравнение на 3, а второе на -2.
$3(2x + 3y) = 3 \cdot 6 \implies 6x + 9y = 18$
$-2(3x + 5y) = -2 \cdot 8 \implies -6x - 10y = -16$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 6x + 9y = 18 \\ -6x - 10y = -16 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(6x + 9y) + (-6x - 10y) = 18 - 16$
$-y = 2$
$y = -2$
Подставим $y = -2$ в первое исходное уравнение:
$2x + 3(-2) = 6$
$2x - 6 = 6$
$2x = 12$
$x = 6$
Ответ: $(6; -2)$.

7) Дана система уравнений с переменными $u$ и $v$: $ \begin{cases} 5u - 7v = 24 \\ 7u + 6v = 2 \end{cases} $
Чтобы уравнять коэффициенты при $v$, умножим первое уравнение на 6, а второе на 7.
$6(5u - 7v) = 6 \cdot 24 \implies 30u - 42v = 144$
$7(7u + 6v) = 7 \cdot 2 \implies 49u + 42v = 14$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 30u - 42v = 144 \\ 49u + 42v = 14 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(30u - 42v) + (49u + 42v) = 144 + 14$
$79u = 158$
$u = \frac{158}{79} = 2$
Подставим $u = 2$ во второе исходное уравнение:
$7(2) + 6v = 2$
$14 + 6v = 2$
$6v = 2 - 14$
$6v = -12$
$v = -2$
Ответ: $(2; -2)$.

8) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 0,2x + 1,5y = 10 \\ 0,4x - 0,3y = 0,2 \end{cases} $
Для удобства избавимся от десятичных дробей, умножив оба уравнения на 10:
$10(0,2x + 1,5y) = 10 \cdot 10 \implies 2x + 15y = 100$
$10(0,4x - 0,3y) = 10 \cdot 0,2 \implies 4x - 3y = 2$
Получили систему: $ \begin{cases} 2x + 15y = 100 \\ 4x - 3y = 2 \end{cases} $
Умножим второе уравнение на 5, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными ($15$ и $-15$).
$5(4x - 3y) = 5 \cdot 2 \implies 20x - 15y = 10$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 2x + 15y = 100 \\ 20x - 15y = 10 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(2x + 15y) + (20x - 15y) = 100 + 10$
$22x = 110$
$x = \frac{110}{22} = 5$
Подставим $x = 5$ в уравнение $4x - 3y = 2$:
$4(5) - 3y = 2$
$20 - 3y = 2$
$-3y = 2 - 20$
$-3y = -18$
$y = 6$
Ответ: $(5; 6)$.

1262. Решите систему уравнений методом сложения:

1) $$ \begin{cases} 5x + y = 7, \\ 7x - 4y = -1; \end{cases} $$

2) $$ \begin{cases} 6x - 5y = 23, \\ 2x - 7y = 13; \end{cases} $$

3) $$ \begin{cases} 5x - 2y = 16, \\ 8x + 3y = 38; \end{cases} $$

4) $$ \begin{cases} 5x - 4y = 10, \\ 2x - 3y = -3; \end{cases} $$

5) $$ \begin{cases} 4a + 6b = 9, \\ 3a - 5b = 2; \end{cases} $$

6) $$ \begin{cases} 9m - 13n = 22, \\ 2m + 3n = -1. \end{cases} $$

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5x + y = 7, \\ 7x - 4y = -1; \end{cases}$

Для решения методом сложения, умножим первое уравнение на 4, чтобы коэффициенты при y стали противоположными по знаку и равными по модулю:

$4 \cdot (5x + y) = 4 \cdot 7 \implies 20x + 4y = 28$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 20x + 4y = 28, \\ 7x - 4y = -1; \end{cases}$

Сложим почленно уравнения системы:

$(20x + 4y) + (7x - 4y) = 28 + (-1)$

$27x = 27$

$x = \frac{27}{27} = 1$

Подставим найденное значение x = 1 в первое исходное уравнение $5x + y = 7$:

$5(1) + y = 7$

$5 + y = 7$

$y = 7 - 5 = 2$

Ответ: $(1; 2)$.

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 6x - 5y = 23, \\ 2x - 7y = 13; \end{cases}$

Умножим второе уравнение на -3, чтобы коэффициенты при x стали противоположными:

$-3 \cdot (2x - 7y) = -3 \cdot 13 \implies -6x + 21y = -39$

Получим новую систему:

$\begin{cases} 6x - 5y = 23, \\ -6x + 21y = -39; \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(6x - 5y) + (-6x + 21y) = 23 + (-39)$

$16y = -16$

$y = \frac{-16}{16} = -1$

Подставим y = -1 во второе исходное уравнение $2x - 7y = 13$:

$2x - 7(-1) = 13$

$2x + 7 = 13$

$2x = 13 - 7 = 6$

$x = \frac{6}{2} = 3$

Ответ: $(3; -1)$.

3) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5x - 2y = 16, \\ 8x + 3y = 38; \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными:

$3 \cdot (5x - 2y) = 3 \cdot 16 \implies 15x - 6y = 48$

$2 \cdot (8x + 3y) = 2 \cdot 38 \implies 16x + 6y = 76$

Новая система:

$\begin{cases} 15x - 6y = 48, \\ 16x + 6y = 76; \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(15x - 6y) + (16x + 6y) = 48 + 76$

$31x = 124$

$x = \frac{124}{31} = 4$

Подставим x = 4 в первое исходное уравнение $5x - 2y = 16$:

$5(4) - 2y = 16$

$20 - 2y = 16$

$-2y = 16 - 20 = -4$

$y = \frac{-4}{-2} = 2$

Ответ: $(4; 2)$.

4) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5x - 4y = 10, \\ 2x - 3y = -3; \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 2, а второе на -5, чтобы коэффициенты при x стали противоположными:

$2 \cdot (5x - 4y) = 2 \cdot 10 \implies 10x - 8y = 20$

$-5 \cdot (2x - 3y) = -5 \cdot (-3) \implies -10x + 15y = 15$

Новая система:

$\begin{cases} 10x - 8y = 20, \\ -10x + 15y = 15; \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(10x - 8y) + (-10x + 15y) = 20 + 15$

$7y = 35$

$y = \frac{35}{7} = 5$

Подставим y = 5 в первое исходное уравнение $5x - 4y = 10$:

$5x - 4(5) = 10$

$5x - 20 = 10$

$5x = 10 + 20 = 30$

$x = \frac{30}{5} = 6$

Ответ: $(6; 5)$.

5) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4a + 6b = 9, \\ 3a - 5b = 2; \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 3, а второе на -4, чтобы коэффициенты при a стали противоположными:

$3 \cdot (4a + 6b) = 3 \cdot 9 \implies 12a + 18b = 27$

$-4 \cdot (3a - 5b) = -4 \cdot 2 \implies -12a + 20b = -8$

Новая система:

$\begin{cases} 12a + 18b = 27, \\ -12a + 20b = -8; \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(12a + 18b) + (-12a + 20b) = 27 - 8$

$38b = 19$

$b = \frac{19}{38} = \frac{1}{2}$

Подставим b = 1/2 во второе исходное уравнение $3a - 5b = 2$:

$3a - 5(\frac{1}{2}) = 2$

$3a - \frac{5}{2} = 2$

$3a = 2 + \frac{5}{2} = \frac{4}{2} + \frac{5}{2} = \frac{9}{2}$

$a = \frac{9}{2} \div 3 = \frac{9}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2}$

Ответ: $(\frac{3}{2}; \frac{1}{2})$.

6) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 9m - 13n = 22, \\ 2m + 3n = -1; \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 2, а второе на -9, чтобы коэффициенты при m стали противоположными:

$2 \cdot (9m - 13n) = 2 \cdot 22 \implies 18m - 26n = 44$

$-9 \cdot (2m + 3n) = -9 \cdot (-1) \implies -18m - 27n = 9$

Новая система:

$\begin{cases} 18m - 26n = 44, \\ -18m - 27n = 9; \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(18m - 26n) + (-18m - 27n) = 44 + 9$

$-53n = 53$

$n = \frac{53}{-53} = -1$

Подставим n = -1 во второе исходное уравнение $2m + 3n = -1$:

$2m + 3(-1) = -1$

$2m - 3 = -1$

$2m = -1 + 3 = 2$

$m = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $(1; -1)$.

1263. Найдите, не выполняя построения, координаты точки пересечения прямых:

1) $y = 2 - 3x$ и $2x + 3y = 7;$

2) $5x + 6y = -20$ и $2x + 9y = 25.$

1)

Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, необходимо решить систему уравнений, задающих эти прямые. В точке пересечения координаты $x$ и $y$ удовлетворяют обоим уравнениям.

Составим систему уравнений:

$$ \begin{cases} y = 2 - 3x \\ 2x + 3y = 7 \end{cases} $$

Так как в первом уравнении переменная $y$ уже выражена через $x$, удобно использовать метод подстановки. Подставим выражение $2 - 3x$ вместо $y$ во второе уравнение:

$2x + 3(2 - 3x) = 7$

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$2x + 6 - 9x = 7$

Приведем подобные слагаемые:

$-7x + 6 = 7$

Перенесем 6 в правую часть уравнения:

$-7x = 7 - 6$

$-7x = 1$

Найдем $x$:

$x = -\frac{1}{7}$

Теперь, зная значение $x$, найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -\frac{1}{7}$ в первое уравнение системы $y = 2 - 3x$:

$y = 2 - 3 \cdot (-\frac{1}{7})$

$y = 2 + \frac{3}{7}$

Приведем к общему знаменателю:

$y = \frac{14}{7} + \frac{3}{7}$

$y = \frac{17}{7}$

Таким образом, координаты точки пересечения прямых равны $(-\frac{1}{7}; \frac{17}{7})$.

Ответ: $(-\frac{1}{7}; \frac{17}{7})$.

2)

Аналогично первому пункту, найдем координаты точки пересечения, решив систему уравнений:

$$ \begin{cases} 5x + 6y = -20 \\ 2x + 9y = 25 \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на $-2$, а второе на $5$, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами ($-10$ и $10$):

$$ \begin{cases} -2(5x + 6y) = -2(-20) \\ 5(2x + 9y) = 5(25) \end{cases} $$

После умножения система примет вид:

$$ \begin{cases} -10x - 12y = 40 \\ 10x + 45y = 125 \end{cases} $$

Теперь сложим левые и правые части уравнений системы:

$(-10x - 12y) + (10x + 45y) = 40 + 125$

Приведем подобные слагаемые:

$-10x + 10x - 12y + 45y = 165$

$33y = 165$

Найдем $y$:

$y = \frac{165}{33}$

$y = 5$

Подставим найденное значение $y=5$ в любое из исходных уравнений. Например, подставим во второе уравнение $2x + 9y = 25$:

$2x + 9 \cdot 5 = 25$

$2x + 45 = 25$

$2x = 25 - 45$

$2x = -20$

$x = -10$

Следовательно, координаты точки пересечения прямых равны $(-10; 5)$.

Ответ: $(-10; 5)$.

1264. Найдите, не выполняя построения, координаты точки пересечения прямых:

1) $2x - 3y = 8$ и $7x - 5y = -5$;

2) $9x + y = 3$ и $8x + 3y = -10$.

Чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, не выполняя построения, нужно решить систему уравнений, задающих эти прямые. Координаты $(x; y)$ точки пересечения будут являться решением этой системы.

1) $2x - 3y = 8$ и $7x - 5y = -5$

Составим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - 3y = 8 \\ 7x - 5y = -5 \end{cases} $$

Для решения системы воспользуемся методом алгебраического сложения. Умножим обе части первого уравнения на 5, а второго на -3, чтобы коэффициенты при переменной y стали противоположными числами:

$$ \begin{cases} (2x - 3y) \cdot 5 = 8 \cdot 5 \\ (7x - 5y) \cdot (-3) = -5 \cdot (-3) \end{cases} $$

Получим эквивалентную систему:

$$ \begin{cases} 10x - 15y = 40 \\ -21x + 15y = 15 \end{cases} $$

Теперь сложим два уравнения системы почленно:

$(10x - 15y) + (-21x + 15y) = 40 + 15$

$10x - 21x = 55$

$-11x = 55$

$x = \frac{55}{-11}$

$x = -5$

Подставим найденное значение $x = -5$ в первое исходное уравнение, чтобы найти значение y:

$2(-5) - 3y = 8$

$-10 - 3y = 8$

$-3y = 8 + 10$

$-3y = 18$

$y = \frac{18}{-3}$

$y = -6$

Следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты $(-5; -6)$.

Ответ: $(-5; -6)$

2) $9x + y = 3$ и $8x + 3y = -10$

Составим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 9x + y = 3 \\ 8x + 3y = -10 \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Выразим переменную y из первого уравнения:

$y = 3 - 9x$

Подставим полученное выражение для y во второе уравнение системы:

$8x + 3(3 - 9x) = -10$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$8x + 9 - 27x = -10$

$-19x + 9 = -10$

$-19x = -10 - 9$

$-19x = -19$

$x = 1$

Теперь найдем соответствующее значение y, подставив $x = 1$ в выражение для y:

$y = 3 - 9(1)$

$y = 3 - 9$

$y = -6$

Следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты $(1; -6)$.

Ответ: $(1; -6)$

1265. При каких значениях $a$ и $b$ график уравнения $ax + by = 8$ проходит через точки $A (1; 3)$ и $B (2; -4)$?

Поскольку график уравнения $ax + by = 8$ проходит через точки A(1; 3) и B(2; -4), то координаты этих точек должны удовлетворять данному уравнению. Это означает, что при подстановке координат каждой точки в уравнение мы получим верное равенство.

1. Подставим координаты точки A(1; 3), где $x=1$ и $y=3$, в уравнение:
$a \cdot 1 + b \cdot 3 = 8$
$a + 3b = 8$

2. Подставим координаты точки B(2; -4), где $x=2$ и $y=-4$, в то же уравнение:
$a \cdot 2 + b \cdot (-4) = 8$
$2a - 4b = 8$

В результате мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

$ \begin{cases} a + 3b = 8 \\ 2a - 4b = 8 \end{cases} $

Для упрощения решения разделим все члены второго уравнения на 2:
$(2a - 4b) \div 2 = 8 \div 2$
$a - 2b = 4$

Теперь наша система уравнений выглядит следующим образом:
$ \begin{cases} a + 3b = 8 \\ a - 2b = 4 \end{cases} $

Решим эту систему методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:
$(a + 3b) - (a - 2b) = 8 - 4$
$a + 3b - a + 2b = 4$
$5b = 4$
$b = \frac{4}{5}$

Теперь, когда мы нашли значение $b$, подставим его в любое из уравнений системы, чтобы найти $a$. Удобнее всего использовать уравнение $a - 2b = 4$:
$a - 2 \cdot \left(\frac{4}{5}\right) = 4$
$a - \frac{8}{5} = 4$
$a = 4 + \frac{8}{5}$
$a = \frac{20}{5} + \frac{8}{5}$
$a = \frac{28}{5}$

Следовательно, искомые значения коэффициентов равны $a = 28/5$ и $b = 4/5$.

Ответ: $a = \frac{28}{5}$ (или 5,6), $b = \frac{4}{5}$ (или 0,8).

1266. При каких значениях $m$ и $n$ график уравнения $mx - ny = 6$ проходит через точки $C(2; -1)$ и $D(-6; 5)$?

Поскольку график уравнения $mx - ny = 6$ проходит через точки $C(2; -1)$ и $D(-6; 5)$, то координаты каждой из этих точек должны удовлетворять данному уравнению. Подставив координаты точек в уравнение, мы получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными $m$ и $n$.

Подставляем координаты точки $C(2; -1)$, где $x=2$ и $y=-1$:
$m \cdot 2 - n \cdot (-1) = 6$
$2m + n = 6$

Подставляем координаты точки $D(-6; 5)$, где $x=-6$ и $y=5$:
$m \cdot (-6) - n \cdot 5 = 6$
$-6m - 5n = 6$

Теперь у нас есть система линейных уравнений:
$\begin{cases} 2m + n = 6 \\ -6m - 5n = 6 \end{cases}$

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $n$ через $m$:
$n = 6 - 2m$

Теперь подставим это выражение для $n$ во второе уравнение системы:
$-6m - 5(6 - 2m) = 6$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $m$:
$-6m - 30 + 10m = 6$
$4m - 30 = 6$
$4m = 6 + 30$
$4m = 36$
$m = \frac{36}{4}$
$m = 9$

Теперь, когда мы нашли значение $m$, мы можем найти значение $n$, подставив $m=9$ в выражение для $n$:
$n = 6 - 2m$
$n = 6 - 2 \cdot 9$
$n = 6 - 18$
$n = -12$

Таким образом, график уравнения проходит через заданные точки при значениях $m=9$ и $n=-12$.

Ответ: $m = 9$, $n = -12$.

через точки $C (2, -1)$ и $D (0, 3):

1267.Запишите уравнение прямой $y = kx + b$, проходящей через точки:

1) $M (2; 1)$ и $K (-3; 2);

2) $P (-4; 5)$ и $Q (4; -3).

1) Чтобы найти уравнение прямой $y = kx + b$, которая проходит через заданные точки $M(2; 1)$ и $K(-3; 2)$, нужно подставить координаты этих точек в уравнение. Это позволит нам составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $k$ и $b$.

Подставляем координаты точки $M(2; 1)$ (где $x=2$, $y=1$):

$1 = k \cdot 2 + b$

$1 = 2k + b$

Подставляем координаты точки $K(-3; 2)$ (где $x=-3$, $y=2$):

$2 = k \cdot (-3) + b$

$2 = -3k + b$

Теперь у нас есть система уравнений:

$\begin{cases} 1 = 2k + b \\ 2 = -3k + b \end{cases}$

Для решения системы можно выразить $b$ из первого уравнения: $b = 1 - 2k$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2 = -3k + (1 - 2k)$

$2 = -3k + 1 - 2k$

$2 - 1 = -5k$

$1 = -5k$

$k = -\frac{1}{5}$

Теперь найдем $b$, подставив значение $k$ в выражение $b = 1 - 2k$:

$b = 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{5})$

$b = 1 + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$

Таким образом, мы нашли коэффициенты $k = -\frac{1}{5}$ и $b = \frac{7}{5}$. Искомое уравнение прямой имеет вид:

$y = -\frac{1}{5}x + \frac{7}{5}$

Ответ: $y = -\frac{1}{5}x + \frac{7}{5}$

2) Аналогично найдем уравнение прямой, проходящей через точки $P(-4; 5)$ и $Q(4; -3)$.

Подставляем координаты точки $P(-4; 5)$ в уравнение $y = kx + b$:

$5 = k \cdot (-4) + b$

$5 = -4k + b$

Подставляем координаты точки $Q(4; -3)$:

$-3 = k \cdot 4 + b$

$-3 = 4k + b$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 5 = -4k + b \\ -3 = 4k + b \end{cases}$

Для решения этой системы удобно сложить два уравнения. При этом слагаемые с $k$ взаимно уничтожатся:

$(5 + (-3)) = (-4k + 4k) + (b + b)$

$2 = 0 + 2b$

$2 = 2b$

$b = 1$

Теперь подставим найденное значение $b=1$ в любое из уравнений системы, например, во второе:

$-3 = 4k + 1$

$-3 - 1 = 4k$

$-4 = 4k$

$k = -1$

Мы нашли коэффициенты $k = -1$ и $b = 1$. Искомое уравнение прямой имеет вид:

$y = -1 \cdot x + 1$ или $y = -x + 1$

Ответ: $y = -x + 1$

1268. Запишите уравнение прямой $y = kx + b$, проходящей через точки:

1) A (3; 2) и B (–1; 4);

2) C (–2; –3) и D (1; 6).

1) A (3; 2) и B (-1; 4)

Чтобы найти уравнение прямой вида $y = kx + b$, проходящей через две заданные точки, необходимо найти коэффициенты $k$ и $b$. Для этого подставим координаты каждой точки в уравнение прямой, что даст нам систему из двух линейных уравнений.

Подставляем координаты точки A(3; 2):
$2 = k \cdot 3 + b$
$3k + b = 2$

Подставляем координаты точки B(-1; 4):
$4 = k \cdot (-1) + b$
$-k + b = 4$

Теперь решим полученную систему уравнений:
$\begin{cases} 3k + b = 2 \\ -k + b = 4 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить $b$:
$(3k + b) - (-k + b) = 2 - 4$
$3k + k = -2$
$4k = -2$
$k = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь, зная $k$, подставим его значение в любое из уравнений системы, чтобы найти $b$. Используем второе уравнение $-k + b = 4$:
$-(-\frac{1}{2}) + b = 4$
$\frac{1}{2} + b = 4$
$b = 4 - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

Подставив найденные значения $k = -\frac{1}{2}$ и $b = \frac{7}{2}$ в уравнение прямой, получаем итоговый вид.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$

2) C (-2; -3) и D (1; 6)

Действуем аналогично первому пункту. Подставляем координаты точек C и D в уравнение $y = kx + b$.

Для точки C(-2; -3):
$-3 = k \cdot (-2) + b$
$-2k + b = -3$

Для точки D(1; 6):
$6 = k \cdot 1 + b$
$k + b = 6$

Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} -2k + b = -3 \\ k + b = 6 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:
$(-2k + b) - (k + b) = -3 - 6$
$-2k - k = -9$
$-3k = -9$
$k = \frac{-9}{-3} = 3$

Подставим найденное значение $k=3$ во второе уравнение $k + b = 6$:
$3 + b = 6$
$b = 6 - 3 = 3$

Таким образом, искомое уравнение прямой имеет вид $y = 3x + 3$.

Ответ: $y = 3x + 3$