Номер 1262, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 30. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1262, страница 243.

Условие.

1262. Решите систему уравнений методом сложения:

1) $$ \begin{cases} 5x + y = 7, \\ 7x - 4y = -1; \end{cases} $$

2) $$ \begin{cases} 6x - 5y = 23, \\ 2x - 7y = 13; \end{cases} $$

3) $$ \begin{cases} 5x - 2y = 16, \\ 8x + 3y = 38; \end{cases} $$

4) $$ \begin{cases} 5x - 4y = 10, \\ 2x - 3y = -3; \end{cases} $$

5) $$ \begin{cases} 4a + 6b = 9, \\ 3a - 5b = 2; \end{cases} $$

6) $$ \begin{cases} 9m - 13n = 22, \\ 2m + 3n = -1. \end{cases} $$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5x + y = 7, \\ 7x - 4y = -1; \end{cases}$

Для решения методом сложения, умножим первое уравнение на 4, чтобы коэффициенты при y стали противоположными по знаку и равными по модулю:

$4 \cdot (5x + y) = 4 \cdot 7 \implies 20x + 4y = 28$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 20x + 4y = 28, \\ 7x - 4y = -1; \end{cases}$

Сложим почленно уравнения системы:

$(20x + 4y) + (7x - 4y) = 28 + (-1)$

$27x = 27$

$x = \frac{27}{27} = 1$

Подставим найденное значение x = 1 в первое исходное уравнение $5x + y = 7$:

$5(1) + y = 7$

$5 + y = 7$

$y = 7 - 5 = 2$

Ответ: $(1; 2)$.

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 6x - 5y = 23, \\ 2x - 7y = 13; \end{cases}$

Умножим второе уравнение на -3, чтобы коэффициенты при x стали противоположными:

$-3 \cdot (2x - 7y) = -3 \cdot 13 \implies -6x + 21y = -39$

Получим новую систему:

$\begin{cases} 6x - 5y = 23, \\ -6x + 21y = -39; \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(6x - 5y) + (-6x + 21y) = 23 + (-39)$

$16y = -16$

$y = \frac{-16}{16} = -1$

Подставим y = -1 во второе исходное уравнение $2x - 7y = 13$:

$2x - 7(-1) = 13$

$2x + 7 = 13$

$2x = 13 - 7 = 6$

$x = \frac{6}{2} = 3$

Ответ: $(3; -1)$.

3) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5x - 2y = 16, \\ 8x + 3y = 38; \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными:

$3 \cdot (5x - 2y) = 3 \cdot 16 \implies 15x - 6y = 48$

$2 \cdot (8x + 3y) = 2 \cdot 38 \implies 16x + 6y = 76$

Новая система:

$\begin{cases} 15x - 6y = 48, \\ 16x + 6y = 76; \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(15x - 6y) + (16x + 6y) = 48 + 76$

$31x = 124$

$x = \frac{124}{31} = 4$

Подставим x = 4 в первое исходное уравнение $5x - 2y = 16$:

$5(4) - 2y = 16$

$20 - 2y = 16$

$-2y = 16 - 20 = -4$

$y = \frac{-4}{-2} = 2$

Ответ: $(4; 2)$.

4) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5x - 4y = 10, \\ 2x - 3y = -3; \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 2, а второе на -5, чтобы коэффициенты при x стали противоположными:

$2 \cdot (5x - 4y) = 2 \cdot 10 \implies 10x - 8y = 20$

$-5 \cdot (2x - 3y) = -5 \cdot (-3) \implies -10x + 15y = 15$

Новая система:

$\begin{cases} 10x - 8y = 20, \\ -10x + 15y = 15; \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(10x - 8y) + (-10x + 15y) = 20 + 15$

$7y = 35$

$y = \frac{35}{7} = 5$

Подставим y = 5 в первое исходное уравнение $5x - 4y = 10$:

$5x - 4(5) = 10$

$5x - 20 = 10$

$5x = 10 + 20 = 30$

$x = \frac{30}{5} = 6$

Ответ: $(6; 5)$.

5) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4a + 6b = 9, \\ 3a - 5b = 2; \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 3, а второе на -4, чтобы коэффициенты при a стали противоположными:

$3 \cdot (4a + 6b) = 3 \cdot 9 \implies 12a + 18b = 27$

$-4 \cdot (3a - 5b) = -4 \cdot 2 \implies -12a + 20b = -8$

Новая система:

$\begin{cases} 12a + 18b = 27, \\ -12a + 20b = -8; \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(12a + 18b) + (-12a + 20b) = 27 - 8$

$38b = 19$

$b = \frac{19}{38} = \frac{1}{2}$

Подставим b = 1/2 во второе исходное уравнение $3a - 5b = 2$:

$3a - 5(\frac{1}{2}) = 2$

$3a - \frac{5}{2} = 2$

$3a = 2 + \frac{5}{2} = \frac{4}{2} + \frac{5}{2} = \frac{9}{2}$

$a = \frac{9}{2} \div 3 = \frac{9}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2}$

Ответ: $(\frac{3}{2}; \frac{1}{2})$.

6) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 9m - 13n = 22, \\ 2m + 3n = -1; \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 2, а второе на -9, чтобы коэффициенты при m стали противоположными:

$2 \cdot (9m - 13n) = 2 \cdot 22 \implies 18m - 26n = 44$

$-9 \cdot (2m + 3n) = -9 \cdot (-1) \implies -18m - 27n = 9$

Новая система:

$\begin{cases} 18m - 26n = 44, \\ -18m - 27n = 9; \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(18m - 26n) + (-18m - 27n) = 44 + 9$

$-53n = 53$

$n = \frac{53}{-53} = -1$

Подставим n = -1 во второе исходное уравнение $2m + 3n = -1$:

$2m + 3(-1) = -1$

$2m - 3 = -1$

$2m = -1 + 3 = 2$

$m = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $(1; -1)$.