Номер 1269, страница 244 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 30. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1269, страница 244.

Условие.

1269. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} 2(4x - 5) - 3(3 + 4y) = 5 \\ 7(6y - 1) - (4 + 3x) = 21y - 86 \end{cases} $

2) $ \begin{cases} -2(2x + 1) + 2,5 = 3(y + 2) - 8x \\ 8 - 5(4 - x) = 6y - (5 - x) \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 3 \\ \frac{3x}{4} + \frac{5y}{6} = 4 \end{cases} $

4) $ \begin{cases} \frac{x + 2}{6} - \frac{y - 3}{15} = 1 \\ \frac{x + 2,5}{9} - \frac{y + 3}{6} = \frac{1}{3} \end{cases} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} 2(4x - 5) - 3(3 + 4y) = 5, \\ 7(6y - 1) - (4 + 3x) = 21y - 86; \end{cases} $
Упростим каждое уравнение системы.
Первое уравнение:
$2(4x - 5) - 3(3 + 4y) = 5$
$8x - 10 - 9 - 12y = 5$
$8x - 12y - 19 = 5$
$8x - 12y = 24$
Разделим обе части на 4:
$2x - 3y = 6$
Второе уравнение:
$7(6y - 1) - (4 + 3x) = 21y - 86$
$42y - 7 - 4 - 3x = 21y - 86$
$-3x + 42y - 11 = 21y - 86$
Перенесем переменные в левую часть, а константы в правую:
$-3x + 42y - 21y = -86 + 11$
$-3x + 21y = -75$
Разделим обе части на -3:
$x - 7y = 25$
Получили упрощенную систему:
$ \begin{cases} 2x - 3y = 6, \\ x - 7y = 25; \end{cases} $
Решим систему методом подстановки. Выразим $x$ из второго уравнения:
$x = 25 + 7y$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2(25 + 7y) - 3y = 6$
$50 + 14y - 3y = 6$
$11y = 6 - 50$
$11y = -44$
$y = -4$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 25 + 7(-4) = 25 - 28 = -3$
Ответ: $(-3; -4)$.

2) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} -2(2x + 1) + 2,5 = 3(y + 2) - 8x, \\ 8 - 5(4 - x) = 6y - (5 - x); \end{cases} $
Упростим каждое уравнение.
Первое уравнение:
$-2(2x + 1) + 2,5 = 3(y + 2) - 8x$
$-4x - 2 + 2,5 = 3y + 6 - 8x$
$-4x + 0,5 = 3y + 6 - 8x$
$8x - 4x - 3y = 6 - 0,5$
$4x - 3y = 5,5$
Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби:
$8x - 6y = 11$
Второе уравнение:
$8 - 5(4 - x) = 6y - (5 - x)$
$8 - 20 + 5x = 6y - 5 + x$
$5x - 12 = 6y + x - 5$
$5x - x - 6y = 12 - 5$
$4x - 6y = 7$
Получили упрощенную систему:
$ \begin{cases} 8x - 6y = 11, \\ 4x - 6y = 7; \end{cases} $
Решим систему методом вычитания. Вычтем из первого уравнения второе:
$(8x - 6y) - (4x - 6y) = 11 - 7$
$8x - 4x = 4$
$4x = 4$
$x = 1$
Подставим значение $x$ во второе упрощенное уравнение:
$4(1) - 6y = 7$
$4 - 6y = 7$
$-6y = 3$
$y = -0,5$
Ответ: $(1; -0,5)$.

3) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 3, \\ \frac{3x}{4} + \frac{5y}{6} = 4; \end{cases} $
Избавимся от знаменателей в каждом уравнении.
Первое уравнение: умножим на наименьший общий знаменатель 6.
$6(\frac{x}{2}) - 6(\frac{y}{3}) = 6(3)$
$3x - 2y = 18$
Второе уравнение: умножим на наименьший общий знаменатель 12.
$12(\frac{3x}{4}) + 12(\frac{5y}{6}) = 12(4)$
$3(3x) + 2(5y) = 48$
$9x + 10y = 48$
Получили систему:
$ \begin{cases} 3x - 2y = 18, \\ 9x + 10y = 48; \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 5:
$5(3x - 2y) = 5(18) \implies 15x - 10y = 90$
Теперь сложим это уравнение со вторым уравнением системы:
$(15x - 10y) + (9x + 10y) = 90 + 48$
$24x = 138$
$x = \frac{138}{24} = \frac{23}{4}$
Подставим значение $x$ в уравнение $3x - 2y = 18$:
$3(\frac{23}{4}) - 2y = 18$
$\frac{69}{4} - 2y = 18$
$-2y = 18 - \frac{69}{4}$
$-2y = \frac{72}{4} - \frac{69}{4}$
$-2y = \frac{3}{4}$
$y = -\frac{3}{8}$
Ответ: $(\frac{23}{4}; -\frac{3}{8})$.

4) Исходная система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x + 2}{6} - \frac{y - 3}{15} = 1, \\ \frac{x + 2,5}{9} - \frac{y + 3}{6} = \frac{1}{3}; \end{cases} $
Упростим каждое уравнение, избавившись от знаменателей.
Первое уравнение: наименьший общий знаменатель 6 и 15 равен 30. Умножим на 30.
$30(\frac{x + 2}{6}) - 30(\frac{y - 3}{15}) = 30(1)$
$5(x + 2) - 2(y - 3) = 30$
$5x + 10 - 2y + 6 = 30$
$5x - 2y = 30 - 16$
$5x - 2y = 14$
Второе уравнение: наименьший общий знаменатель 9, 6 и 3 равен 18. Умножим на 18.
$18(\frac{x + 2,5}{9}) - 18(\frac{y + 3}{6}) = 18(\frac{1}{3})$
$2(x + 2,5) - 3(y + 3) = 6$
$2x + 5 - 3y - 9 = 6$
$2x - 3y - 4 = 6$
$2x - 3y = 10$
Получили систему:
$ \begin{cases} 5x - 2y = 14, \\ 2x - 3y = 10; \end{cases} $
Решим систему методом сложения (вычитания). Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали одинаковыми по модулю.
$3(5x - 2y) = 3(14) \implies 15x - 6y = 42$
$2(2x - 3y) = 2(10) \implies 4x - 6y = 20$
Вычтем второе полученное уравнение из первого:
$(15x - 6y) - (4x - 6y) = 42 - 20$
$11x = 22$
$x = 2$
Подставим значение $x$ в уравнение $2x - 3y = 10$:
$2(2) - 3y = 10$
$4 - 3y = 10$
$-3y = 6$
$y = -2$
Ответ: $(2; -2)$.