Номер 1272, страница 244 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 30. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1272, страница 244.

Условие.

1272. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} (2x+1)^2 - (2x-y)(2x+y) = (y+8)(y-10), \\ 4x(x-5) - (2x-3)(2x-9) = 6y-104; \end{cases}$

2) $\begin{cases} (x-2)(x^2+2x+4) - x(x-4)(x+4) = 20-20y, \\ (3x-2)(4y+5) = 2y(6x-1)-58. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} (2x + 1)^2 - (2x - y)(2x + y) = (y + 8)(y - 10), \\ 4x(x - 5) - (2x - 3)(2x - 9) = 6y - 104; \end{cases} $

Упростим первое уравнение. Для этого раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и разность квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(4x^2 + 4x + 1) - (4x^2 - y^2) = y^2 - 10y + 8y - 80$

$4x^2 + 4x + 1 - 4x^2 + y^2 = y^2 - 2y - 80$

Приведем подобные слагаемые. Члены $4x^2$ и $y^2$ взаимно уничтожаются.

$4x + 1 = -2y - 80$

$4x + 2y = -81$

Теперь упростим второе уравнение, раскрыв скобки.

$(4x^2 - 20x) - (4x^2 - 18x - 6x + 27) = 6y - 104$

$4x^2 - 20x - (4x^2 - 24x + 27) = 6y - 104$

$4x^2 - 20x - 4x^2 + 24x - 27 = 6y - 104$

Приведем подобные слагаемые. Члены $4x^2$ взаимно уничтожаются.

$4x - 27 = 6y - 104$

$4x - 6y = 27 - 104$

$4x - 6y = -77$

В результате мы получили систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 4x + 2y = -81, \\ 4x - 6y = -77; \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Вычтем из первого уравнения второе:

$(4x + 2y) - (4x - 6y) = -81 - (-77)$

$4x + 2y - 4x + 6y = -81 + 77$

$8y = -4$

$y = -4 / 8 = -0.5$

Подставим найденное значение $y$ в первое упрощенное уравнение $4x + 2y = -81$:

$4x + 2(-0.5) = -81$

$4x - 1 = -81$

$4x = -80$

$x = -80 / 4 = -20$

Ответ: $(-20; -0.5)$.

2)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} (x - 2)(x^2 + 2x + 4) - x(x - 4)(x + 4) = 20 - 20y, \\ (3x - 2)(4y + 5) = 2y(6x - 1) - 58. \end{cases} $

Упростим первое уравнение. Используем формулу разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$ и формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(x^3 - 2^3) - x(x^2 - 4^2) = 20 - 20y$

$(x^3 - 8) - x(x^2 - 16) = 20 - 20y$

$x^3 - 8 - x^3 + 16x = 20 - 20y$

Приведем подобные слагаемые. Члены $x^3$ взаимно уничтожаются.

$16x - 8 = 20 - 20y$

$16x + 20y = 28$

Разделим обе части уравнения на 4:

$4x + 5y = 7$

Теперь упростим второе уравнение, раскрыв скобки.

$12xy + 15x - 8y - 10 = 12xy - 2y - 58$

Приведем подобные слагаемые. Члены $12xy$ взаимно уничтожаются.

$15x - 8y - 10 = -2y - 58$

$15x - 8y + 2y = -58 + 10$

$15x - 6y = -48$

Разделим обе части уравнения на 3:

$5x - 2y = -16$

В результате мы получили систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 4x + 5y = 7, \\ 5x - 2y = -16; \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 5, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными.

$ \begin{cases} 8x + 10y = 14, \\ 25x - 10y = -80; \end{cases} $

Сложим два уравнения:

$(8x + 10y) + (25x - 10y) = 14 + (-80)$

$33x = -66$

$x = -66 / 33 = -2$

Подставим найденное значение $x$ в первое упрощенное уравнение $4x + 5y = 7$:

$4(-2) + 5y = 7$

$-8 + 5y = 7$

$5y = 15$

$y = 15 / 5 = 3$

Ответ: $(-2; 3)$.