Номер 1273, страница 244 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 30. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1273, страница 244.

Условие.

1273.Имеет ли решение система уравнений:

1) $\begin{cases} 2x + y = 5, \\ 3x - 4y = 24, \\ x - 2y = 9; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x + 3y = -1, \\ 3x + 5y = 1, \\ 5x + 9y = 5? \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Дана система из трех линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} 2x + y = 5, \\ 3x - 4y = 24, \\ x - 2y = 9. \end{cases} $

Чтобы система имела решение, необходимо, чтобы существовала пара чисел $(x, y)$, которая удовлетворяет всем трем уравнениям одновременно. Для проверки этого решим систему, состоящую из любых двух уравнений, и подставим найденное решение в третье уравнение.

Возьмем первое и третье уравнения, так как они выглядят наиболее простыми для решения:

$ \begin{cases} 2x + y = 5, \\ x - 2y = 9. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 5 - 2x$

Подставим это выражение во второе уравнение ($x - 2y = 9$):

$x - 2(5 - 2x) = 9$

$x - 10 + 4x = 9$

$5x = 19$

$x = \frac{19}{5} = 3.8$

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = 5 - 2 \cdot \frac{19}{5} = \frac{25}{5} - \frac{38}{5} = -\frac{13}{5} = -2.6$

Таким образом, решением системы из первого и третьего уравнений является пара чисел $(x, y) = (3.8, -2.6)$.

Теперь проверим, удовлетворяет ли эта пара второму уравнению исходной системы: $3x - 4y = 24$.

Подставим найденные значения $x$ и $y$:

$3 \cdot \frac{19}{5} - 4 \cdot (-\frac{13}{5}) = \frac{57}{5} + \frac{52}{5} = \frac{109}{5} = 21.8$

Полученное значение $21.8$ не равно $24$.

Так как решение, удовлетворяющее двум уравнениям системы, не удовлетворяет третьему, то система несовместна, то есть не имеет решений.

Ответ: нет, система не имеет решений.

2)

Дана система из трех линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} 2x + 3y = -1, \\ 3x + 5y = 1, \\ 5x + 9y = 5. \end{cases} $

Поступим аналогично предыдущему пункту: решим систему из первых двух уравнений и проверим, удовлетворяет ли найденное решение третьему уравнению.

$ \begin{cases} 2x + 3y = -1, \\ 3x + 5y = 1. \end{cases} $

Используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами:

$ \begin{cases} 3 \cdot (2x + 3y) = 3 \cdot (-1) \\ -2 \cdot (3x + 5y) = -2 \cdot 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 6x + 9y = -3, \\ -6x - 10y = -2. \end{cases} $

Теперь сложим эти два уравнения почленно:

$(6x + 9y) + (-6x - 10y) = -3 + (-2)$

$-y = -5$

$y = 5$

Подставим найденное значение $y=5$ в первое исходное уравнение ($2x + 3y = -1$):

$2x + 3 \cdot 5 = -1$

$2x + 15 = -1$

$2x = -16$

$x = -8$

Таким образом, решением системы из первых двух уравнений является пара чисел $(x, y) = (-8, 5)$.

Проверим, удовлетворяет ли эта пара третьему уравнению исходной системы: $5x + 9y = 5$.

Подставим найденные значения $x$ и $y$:

$5 \cdot (-8) + 9 \cdot 5 = -40 + 45 = 5$

Получили верное равенство: $5 = 5$.

Так как решение, удовлетворяющее первым двум уравнениям, удовлетворяет и третьему, то система совместна и имеет единственное решение.

Ответ: да, система имеет решение.