Номер 1280, страница 246 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 30. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1280, страница 246.

Условие.

1280. Решите уравнение:

1) $(x - 2y)^2 + (y - 5)^2 = 0;$

2) $(4x + 2y - 5)^2 + |4x - 6y + 7| = 0;$

3) $50x^2 + 4y^2 - 28xy + 16x + 64 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(x - 2y)^2 + (y - 5)^2 = 0$

Уравнение представляет собой сумму двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x - 2y)^2 \ge 0$ и $(y - 5)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю. Поэтому данное уравнение равносильно системе уравнений:$$ \begin{cases} x - 2y = 0 \\ y - 5 = 0 \end{cases} $$

Решим эту систему. Из второго уравнения сразу находим $y$:$y = 5$.

Теперь подставим найденное значение $y$ в первое уравнение:$x - 2 \cdot 5 = 0$
$x - 10 = 0$
$x = 10$.

Ответ: $(10; 5)$.

2) $(4x + 2y - 5)^2 + |4x - 6y + 7| = 0$

В этом уравнении мы имеем сумму двух неотрицательных слагаемых. Первое слагаемое — это квадрат выражения, $(4x + 2y - 5)^2 \ge 0$. Второе слагаемое — это модуль выражения, $|4x - 6y + 7| \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных величин равна нулю тогда и только тогда, когда каждая из них равна нулю. Таким образом, мы получаем систему из двух линейных уравнений:$$ \begin{cases} 4x + 2y - 5 = 0 \\ 4x - 6y + 7 = 0 \end{cases} $$

Решим эту систему методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:
$(4x + 2y - 5) - (4x - 6y + 7) = 0$
$4x + 2y - 5 - 4x + 6y - 7 = 0$
$8y - 12 = 0$
$8y = 12$
$y = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:
$4x + 2 \cdot \frac{3}{2} - 5 = 0$
$4x + 3 - 5 = 0$
$4x - 2 = 0$
$4x = 2$
$x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$.

3) $50x^2 + 4y^2 - 28xy + 16x + 64 = 0$

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полные квадраты. Сгруппируем слагаемые. Заметим, что слагаемое $-28xy$ можно представить как удвоенное произведение $2 \cdot (7x) \cdot (2y)$. Это позволяет выделить квадрат разности $(7x - 2y)^2 = 49x^2 - 28xy + 4y^2$.

Для этого представим $50x^2$ в виде суммы $49x^2 + x^2$:
$(49x^2 - 28xy + 4y^2) + x^2 + 16x + 64 = 0$.

Теперь первая группа слагаемых в скобках является полным квадратом $(7x - 2y)^2$. Вторая группа слагаемых $x^2 + 16x + 64$ также является полным квадратом, так как $16x = 2 \cdot x \cdot 8$ и $64 = 8^2$. То есть, $x^2 + 16x + 64 = (x + 8)^2$.

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде суммы квадратов:
$(7x - 2y)^2 + (x + 8)^2 = 0$.

Это уравнение, как и в первом пункте, равносильно системе уравнений, поскольку сумма квадратов равна нулю только если каждое основание равно нулю:$$ \begin{cases} 7x - 2y = 0 \\ x + 8 = 0 \end{cases} $$

Из второго уравнения находим $x$:
$x = -8$.

Подставляем это значение в первое уравнение:
$7(-8) - 2y = 0$
$-56 - 2y = 0$
$-2y = 56$
$y = -28$.

Ответ: $(-8; -28)$.