Номер 1279, страница 246 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 30. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1279, страница 246.

Условие.

1279. Решите уравнение:

1) $(x + y)^2 + (x - 3)^2 = 0;$

2) $(x + 2y - 3)^2 + x^2 - 4xy + 4y^2 = 0;$

3) $|x - 3y - 6| + (9x + 6y - 32)^2 = 0;$

4) $x^2 + y^2 + 10x - 12y + 61 = 0;$

5) $25x^2 + 10y^2 - 30xy + 8y + 16 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(x + y)^2 + (x - 3)^2 = 0$

Данное уравнение представляет собой сумму двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, поэтому $(x + y)^2 \ge 0$ и $(x - 3)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Это приводит к системе уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 0 \\ x - 3 = 0 \end{cases} $$

Из второго уравнения системы находим $x$: $x = 3$.

Подставляем найденное значение $x$ в первое уравнение: $3 + y = 0$.

Отсюда находим $y$: $y = -3$.

Ответ: $(3; -3)$.

2) $(x + 2y - 3)^2 + x^2 - 4xy + 4y^2 = 0$

Заметим, что выражение $x^2 - 4xy + 4y^2$ является полным квадратом разности. Используя формулу сокращенного умножения $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, получаем:

$x^2 - 4xy + 4y^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = (x - 2y)^2$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в следующем виде:

$(x + 2y - 3)^2 + (x - 2y)^2 = 0$.

Это сумма двух квадратов, которая равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю. Таким образом, получаем систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + 2y - 3 = 0 \\ x - 2y = 0 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = 2y$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $(2y) + 2y - 3 = 0$, что дает $4y - 3 = 0$, откуда $y = \frac{3}{4}$.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$: $x = 2y = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $(\frac{3}{2}; \frac{3}{4})$.

3) $|x - 3y - 6| + (9x + 6y - 32)^2 = 0$

Данное уравнение представляет собой сумму модуля и квадрата. Модуль любого действительного числа и квадрат любого действительного числа — это неотрицательные величины, то есть $|x - 3y - 6| \ge 0$ и $(9x + 6y - 32)^2 \ge 0$.

Сумма этих двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Это приводит к системе уравнений:

$$ \begin{cases} x - 3y - 6 = 0 \\ 9x + 6y - 32 = 0 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 3y + 6$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$9(3y + 6) + 6y - 32 = 0$

$27y + 54 + 6y - 32 = 0$

$33y + 22 = 0$

$33y = -22$

$y = -\frac{22}{33} = -\frac{2}{3}$.

Теперь найдем $x$: $x = 3y + 6 = 3 \cdot (-\frac{2}{3}) + 6 = -2 + 6 = 4$.

Ответ: $(4; -\frac{2}{3})$.

4) $x^2 + y^2 + 10x - 12y + 61 = 0$

Для решения этого уравнения сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$ и выделим полные квадраты.

$(x^2 + 10x) + (y^2 - 12y) + 61 = 0$

Выделим полный квадрат для слагаемых с $x$: $x^2 + 10x = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - 5^2 = (x + 5)^2 - 25$.

Выделим полный квадрат для слагаемых с $y$: $y^2 - 12y = (y^2 - 2 \cdot y \cdot 6 + 6^2) - 6^2 = (y - 6)^2 - 36$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(x + 5)^2 - 25 + (y - 6)^2 - 36 + 61 = 0$

$(x + 5)^2 + (y - 6)^2 - 61 + 61 = 0$

$(x + 5)^2 + (y - 6)^2 = 0$

Мы снова получили сумму двух квадратов, равную нулю. Это возможно только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

$$ \begin{cases} x + 5 = 0 \\ y - 6 = 0 \end{cases} $$

Из системы находим $x = -5$ и $y = 6$.

Ответ: $(-5; 6)$.

5) $25x^2 + 10y^2 - 30xy + 8y + 16 = 0$

Преобразуем уравнение, выделив полные квадраты. Для этого сгруппируем слагаемые. Заметим, что $25x^2 = (5x)^2$ и присутствует смешанный член $-30xy$. Это указывает на возможность выделения квадрата вида $(5x - k \cdot y)^2$.

Попробуем выделить полный квадрат $(5x - 3y)^2$: $(5x - 3y)^2 = 25x^2 - 30xy + 9y^2$.

Для этого представим $10y^2$ в исходном уравнении как $9y^2 + y^2$:

$(25x^2 - 30xy + 9y^2) + y^2 + 8y + 16 = 0$

Первое выражение в скобках равно $(5x - 3y)^2$. Оставшиеся члены $y^2 + 8y + 16$ также образуют полный квадрат: $(y + 4)^2$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$(5x - 3y)^2 + (y + 4)^2 = 0$.

Сумма двух квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда оба выражения под знаком квадрата равны нулю:

$$ \begin{cases} 5x - 3y = 0 \\ y + 4 = 0 \end{cases} $$

Из второго уравнения находим $y = -4$.

Подставляем это значение в первое уравнение:

$5x - 3(-4) = 0$

$5x + 12 = 0$

$5x = -12$

$x = -\frac{12}{5}$.

Ответ: $(-\frac{12}{5}; -4)$.