Номер 1281, страница 246 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 30. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1281, страница 246.

Условие.

1281. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{5}{y} = 15, \\ \frac{3}{x} + \frac{8}{y} = 23; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{5}{2x - 3y} + \frac{10}{3x - 2y} = 3, \\ \frac{20}{3x - 2y} - \frac{15}{2x - 3y} = 1. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{5}{y} = 15 \\ \frac{3}{x} + \frac{8}{y} = 23 \end{cases} $. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Для решения введем замену переменных. Пусть $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$. Система уравнений преобразуется в линейную систему относительно $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} 2u + 5v = 15 \\ 3u + 8v = 23 \end{cases} $$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при переменной $u$ стали противоположными числами:

$$ \begin{cases} 3(2u + 5v) = 3 \cdot 15 \\ -2(3u + 8v) = -2 \cdot 23 \end{cases} \implies \begin{cases} 6u + 15v = 45 \\ -6u - 16v = -46 \end{cases} $$

Сложим почленно уравнения полученной системы: $(6u + 15v) + (-6u - 16v) = 45 - 46$, что приводит к уравнению $-v = -1$, откуда $v = 1$.

Подставим найденное значение $v=1$ в первое уравнение $2u + 5v = 15$: $2u + 5 \cdot 1 = 15$, откуда $2u = 10$ и $u = 5$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

$u = \frac{1}{x} \implies 5 = \frac{1}{x} \implies x = \frac{1}{5}$

$v = \frac{1}{y} \implies 1 = \frac{1}{y} \implies y = 1$

Найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(\frac{1}{5}; 1)$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{5}{2x - 3y} + \frac{10}{3x - 2y} = 3 \\ \frac{20}{3x - 2y} - \frac{15}{2x - 3y} = 1 \end{cases} $. ОДЗ: $2x - 3y \neq 0$ и $3x - 2y \neq 0$.

Для удобства поменяем местами члены во втором уравнении: $ -\frac{15}{2x - 3y} + \frac{20}{3x - 2y} = 1$.

Введем новые переменные. Пусть $a = \frac{1}{2x - 3y}$ и $b = \frac{1}{3x - 2y}$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} 5a + 10b = 3 \\ -15a + 20b = 1 \end{cases} $$

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $a$ стали противоположными:

$$ \begin{cases} 15a + 30b = 9 \\ -15a + 20b = 1 \end{cases} $$

Сложим уравнения системы: $(15a + 30b) + (-15a + 20b) = 9 + 1$, что дает $50b = 10$, откуда $b = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$.

Подставим значение $b = \frac{1}{5}$ в первое уравнение $5a + 10b = 3$: $5a + 10 \cdot \frac{1}{5} = 3$, откуда $5a + 2 = 3$, $5a = 1$ и $a = \frac{1}{5}$.

Выполним обратную замену. Так как $a = \frac{1}{5}$ и $b = \frac{1}{5}$, мы получаем новую систему для $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} \frac{1}{2x - 3y} = \frac{1}{5} \\ \frac{1}{3x - 2y} = \frac{1}{5} \end{cases} \implies \begin{cases} 2x - 3y = 5 \\ 3x - 2y = 5 \end{cases} $$

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2:

$$ \begin{cases} 6x - 9y = 15 \\ -6x + 4y = -10 \end{cases} $$

Сложим уравнения: $(6x - 9y) + (-6x + 4y) = 15 - 10$, что дает $-5y = 5$, откуда $y = -1$.

Подставим $y = -1$ в уравнение $2x - 3y = 5$: $2x - 3(-1) = 5$, откуда $2x + 3 = 5$, $2x = 2$ и $x = 1$.

Проверим ОДЗ: $2(1) - 3(-1) = 5 \neq 0$ и $3(1) - 2(-1) = 5 \neq 0$. Условия выполнены.

Ответ: $(1; -1)$.