Номер 1288, страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 30. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1288, страница 247.

Условие.

1288. Докажите, что разность квадратов двух произвольных натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 3, кратна 3.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $a$ и $b$ — два произвольных натуральных числа, каждое из которых не делится нацело на 3.

Любое натуральное число $n$, которое не делится на 3, при делении на 3 может давать в остатке 1 или 2. Следовательно, такое число можно представить в одном из двух видов: $n = 3k + 1$ или $n = 3k + 2$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число.

Рассмотрим, какой остаток при делении на 3 дает квадрат такого числа $n^2$.

Случай 1: Число $n$ имеет вид $n = 3k + 1$.
Тогда его квадрат равен $n^2 = (3k + 1)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 1 + 1^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$.
В этом выражении первое слагаемое $3(3k^2 + 2k)$ кратно 3, значит, $n^2$ при делении на 3 дает в остатке 1.

Случай 2: Число $n$ имеет вид $n = 3k + 2$.
Тогда его квадрат равен $n^2 = (3k + 2)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 2 + 2^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$.
Здесь первое слагаемое $3(3k^2 + 4k + 1)$ кратно 3, значит, $n^2$ при делении на 3 также дает в остатке 1.

Таким образом, мы доказали, что квадрат любого натурального числа, не кратного 3, при делении на 3 дает в остатке 1.

Поскольку по условию задачи числа $a$ и $b$ не делятся на 3, то их квадраты $a^2$ и $b^2$ при делении на 3 дают в остатке 1. Это можно записать в виде:
$a^2 = 3m + 1$ и $b^2 = 3p + 1$, где $m$ и $p$ — некоторые целые числа.

Теперь найдем разность этих квадратов:
$a^2 - b^2 = (3m + 1) - (3p + 1) = 3m + 1 - 3p - 1 = 3m - 3p = 3(m - p)$.

Поскольку $m$ и $p$ являются целыми числами, их разность $(m - p)$ также является целым числом. Следовательно, выражение $3(m - p)$ делится нацело на 3, то есть является кратным 3. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Квадрат любого натурального числа, не делящегося на 3, при делении на 3 дает в остатке 1. Следовательно, разность двух таких квадратов ($a^2$ и $b^2$) можно представить в виде $(3m+1) - (3p+1) = 3(m-p)$, что является числом, кратным 3.