Номер 1282, страница 246 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 30. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1282, страница 246.

Условие.

1282. Решите систему уравнений:

1)$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{7}{y} = 6, \\ \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 46; \end{cases} $

2)$ \begin{cases} \frac{9}{x+4y} - \frac{6}{5x-y} = -2, \\ \frac{3}{x+4y} + \frac{18}{5x-y} = 1. \end{cases} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{7}{y} = 6 \\ \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 46 \end{cases} $$ Для решения этой системы введем новые переменные. Пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. С учетом этих замен система примет вид: $$ \begin{cases} a - 7b = 6 \\ 2a + 3b = 46 \end{cases} $$ Теперь у нас есть система линейных уравнений относительно $a$ и $b$. Решим ее методом сложения. Умножим первое уравнение на -2, чтобы при сложении с вторым уравнением исключить переменную $a$: $$ \begin{cases} -2a + 14b = -12 \\ 2a + 3b = 46 \end{cases} $$ Сложим два уравнения системы:
$(-2a + 14b) + (2a + 3b) = -12 + 46$
$17b = 34$
$b = \frac{34}{17} = 2$
Теперь подставим найденное значение $b$ в первое уравнение системы ($a - 7b = 6$), чтобы найти $a$:
$a - 7(2) = 6$
$a - 14 = 6$
$a = 20$
Мы нашли значения для $a$ и $b$. Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
$a = \frac{1}{x} \implies 20 = \frac{1}{x} \implies x = \frac{1}{20}$
$b = \frac{1}{y} \implies 2 = \frac{1}{y} \implies y = \frac{1}{2}$
Проверка:
$\frac{1}{1/20} - \frac{7}{1/2} = 20 - 14 = 6$ (Верно)
$\frac{2}{1/20} + \frac{3}{1/2} = 2 \cdot 20 + 3 \cdot 2 = 40 + 6 = 46$ (Верно)

Ответ: $(\frac{1}{20}; \frac{1}{2})$

2)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{9}{x + 4y} - \frac{6}{5x - y} = -2 \\ \frac{3}{x + 4y} + \frac{18}{5x - y} = 1 \end{cases} $$ Введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{x + 4y}$ и $v = \frac{1}{5x - y}$. Тогда система перепишется в виде: $$ \begin{cases} 9u - 6v = -2 \\ 3u + 18v = 1 \end{cases} $$ Решим полученную систему линейных уравнений. Умножим второе уравнение на -3, чтобы исключить переменную $u$: $$ \begin{cases} 9u - 6v = -2 \\ -9u - 54v = -3 \end{cases} $$ Сложим уравнения:
$(9u - 6v) + (-9u - 54v) = -2 + (-3)$
$-60v = -5$
$v = \frac{-5}{-60} = \frac{1}{12}$
Подставим значение $v$ во второе уравнение ($3u + 18v = 1$), чтобы найти $u$:
$3u + 18(\frac{1}{12}) = 1$
$3u + \frac{3}{2} = 1$
$3u = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$
$u = -\frac{1}{6}$
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:
$u = \frac{1}{x+4y} \implies -\frac{1}{6} = \frac{1}{x+4y} \implies x + 4y = -6$
$v = \frac{1}{5x-y} \implies \frac{1}{12} = \frac{1}{5x-y} \implies 5x - y = 12$
Мы получили новую, более простую систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + 4y = -6 \\ 5x - y = 12 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$: $y = 5x - 12$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$x + 4(5x - 12) = -6$
$x + 20x - 48 = -6$
$21x = 42$
$x = \frac{42}{21} = 2$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение для $y$:
$y = 5(2) - 12 = 10 - 12 = -2$
Проверка:
$x+4y = 2+4(-2) = 2-8 = -6 \implies \frac{1}{x+4y} = -\frac{1}{6}$.
$5x-y = 5(2)-(-2) = 10+2 = 12 \implies \frac{1}{5x-y} = \frac{1}{12}$.
Первое уравнение: $9(-\frac{1}{6}) - 6(\frac{1}{12}) = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{4}{2} = -2$ (Верно).
Второе уравнение: $3(-\frac{1}{6}) + 18(\frac{1}{12}) = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1$ (Верно).

Ответ: $(2; -2)$