Номер 1277, страница 246 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 30. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1277, страница 246.

Условие.

1277. При каком значении $k$ прямая $y = kx + 2$ проходит через точку пересечения прямых $3x + 5y = 5$ и $7x - 4y = 43$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы прямая $y = kx + 2$ проходила через точку пересечения двух других прямых, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению данной прямой. Таким образом, задача сводится к двум шагам: сначала найти координаты точки пересечения, а затем подставить их в уравнение $y = kx + 2$ и найти $k$.

1. Нахождение точки пересечения прямых

Найдем точку пересечения прямых $3x + 5y = 5$ и $7x - 4y = 43$, решив систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 5y = 5 \\ 7x - 4y = 43 \end{cases} $

Используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 5, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами:

$ \begin{cases} 4(3x + 5y) = 4 \cdot 5 \\ 5(7x - 4y) = 5 \cdot 43 \end{cases} $

$ \begin{cases} 12x + 20y = 20 \\ 35x - 20y = 215 \end{cases} $

Теперь сложим левые и правые части уравнений:

$(12x + 35x) + (20y - 20y) = 20 + 215$

$47x = 235$

Отсюда находим значение $x$:

$x = \frac{235}{47} = 5$

Подставим найденное значение $x=5$ в первое уравнение исходной системы ($3x + 5y = 5$) для нахождения $y$:

$3(5) + 5y = 5$

$15 + 5y = 5$

$5y = 5 - 15$

$5y = -10$

$y = \frac{-10}{5} = -2$

Итак, точка пересечения прямых имеет координаты $(5; -2)$.

2. Нахождение коэффициента k

Теперь, зная, что прямая $y = kx + 2$ проходит через точку $(5; -2)$, мы можем подставить эти координаты в ее уравнение:

$-2 = k \cdot 5 + 2$

Решим это уравнение относительно $k$:

$5k = -2 - 2$

$5k = -4$

$k = -\frac{4}{5}$

Преобразовав дробь в десятичную, получаем:

$k = -0.8$

Ответ: $k = -0.8$.