Номер 1271, страница 244 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 30. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1271, страница 244.

Условие.

1271. Найдите решение системы уравнений:

1) $\begin{cases} (x - 3)^2 - 4y = (x + 2)(x + 1) - 6, \\ (x - 4)(y + 6) = (x + 3)(y - 7) + 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} (x - y)(x + y) - x(x + 10) = y(5 - y) + 15, \\ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x + 4)^2 + (y + 2)^2 - 18. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} (x - 3)^2 - 4y = (x + 2)(x + 1) - 6 \\ (x - 4)(y + 6) = (x + 3)(y - 7) + 3 \end{cases} $$

Для решения системы необходимо сначала упростить каждое уравнение.

Упростим первое уравнение: $(x - 3)^2 - 4y = (x + 2)(x + 1) - 6$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$x^2 - 6x + 9 - 4y = x^2 + x + 2x + 2 - 6$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 6x + 9 - 4y = x^2 + 3x - 4$
Сократим $x^2$ в обеих частях:
$-6x + 9 - 4y = 3x - 4$
Соберем все слагаемые с переменными в одной части, а свободные члены — в другой:
$9 + 4 = 3x + 6x + 4y$
$13 = 9x + 4y$ или $9x + 4y = 13$.

Упростим второе уравнение: $(x - 4)(y + 6) = (x + 3)(y - 7) + 3$.
Раскроем скобки:
$xy + 6x - 4y - 24 = (xy - 7x + 3y - 21) + 3$
$xy + 6x - 4y - 24 = xy - 7x + 3y - 18$
Сократим $xy$ в обеих частях:
$6x - 4y - 24 = -7x + 3y - 18$
Соберем все слагаемые с переменными в одной части, а свободные члены — в другой:
$6x + 7x - 4y - 3y = 24 - 18$
$13x - 7y = 6$.

В результате мы получили систему двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} 9x + 4y = 13 \\ 13x - 7y = 6 \end{cases} $$ Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 7, а второе — на 4, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными числами: $$ \begin{cases} 7 \cdot (9x + 4y) = 7 \cdot 13 \\ 4 \cdot (13x - 7y) = 4 \cdot 6 \end{cases} \implies \begin{cases} 63x + 28y = 91 \\ 52x - 28y = 24 \end{cases} $$ Теперь сложим эти два уравнения:
$(63x + 52x) + (28y - 28y) = 91 + 24$
$115x = 115$
$x = 1$.

Подставим найденное значение $x=1$ в первое упрощенное уравнение $9x + 4y = 13$:
$9(1) + 4y = 13$
$9 + 4y = 13$
$4y = 13 - 9$
$4y = 4$
$y = 1$.

Таким образом, решение системы — пара чисел $(1; 1)$.
Ответ: $(1; 1)$.

2)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} (x - y)(x + y) - x(x + 10) = y(5 - y) + 15 \\ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x + 4)^2 + (y + 2)^2 - 18 \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение системы.

Упростим первое уравнение: $(x - y)(x + y) - x(x + 10) = y(5 - y) + 15$.
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ и раскроем скобки:
$(x^2 - y^2) - (x^2 + 10x) = 5y - y^2 + 15$
$x^2 - y^2 - x^2 - 10x = 5y - y^2 + 15$
Сократим $x^2$ и $-y^2$ в обеих частях:
$-10x = 5y + 15$
Разделим обе части уравнения на 5:
$-2x = y + 3$
$2x + y = -3$.

Упростим второе уравнение: $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x + 4)^2 + (y + 2)^2 - 18$.
Раскроем все скобки, используя формулу квадрата суммы и разности:
$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = (x^2 + 8x + 16) + (y^2 + 4y + 4) - 18$
$x^2 + y^2 + 2x - 2y + 2 = x^2 + y^2 + 8x + 4y + 20 - 18$
$x^2 + y^2 + 2x - 2y + 2 = x^2 + y^2 + 8x + 4y + 2$
Сократим $x^2$, $y^2$ и 2 в обеих частях:
$2x - 2y = 8x + 4y$
Перенесем все слагаемые в правую часть:
$0 = 8x - 2x + 4y + 2y$
$0 = 6x + 6y$
Разделим на 6:
$x + y = 0$.

В результате мы получили систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} 2x + y = -3 \\ x + y = 0 \end{cases} $$ Решим ее методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$: $y = -x$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2x + (-x) = -3$
$x = -3$.

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = -x$:
$y = -(-3) = 3$.

Таким образом, решение системы — пара чисел $(-3; 3)$.
Ответ: $(-3; 3)$.