Номер 1274, страница 244 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 30. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1274, страница 244.

Условие.

1274. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 6x + 5y = 10, \\ 8x - 5y = 32, \\ 3x + 10y = -7; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - 2y = 1, \\ 2x + y = 7, \\ 4x + y = 14. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы решить данную систему из трех уравнений с двумя переменными, сначала найдем решение для подсистемы из первых двух уравнений. $$ \begin{cases} 6x + 5y = 10 \\ 8x - 5y = 32 \end{cases} $$ Сложим первое и второе уравнения, чтобы исключить переменную $y$: $$ (6x + 5y) + (8x - 5y) = 10 + 32 $$ $$ 14x = 42 $$ $$ x = \frac{42}{14} $$ $$ x = 3 $$ Теперь подставим значение $x=3$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$: $$ 6(3) + 5y = 10 $$ $$ 18 + 5y = 10 $$ $$ 5y = 10 - 18 $$ $$ 5y = -8 $$ $$ y = -\frac{8}{5} = -1,6 $$ Таким образом, решением первых двух уравнений является пара $(3; -1,6)$. Проверим, является ли эта пара решением третьего уравнения системы $3x + 10y = -7$: $$ 3(3) + 10(-1,6) = 9 - 16 = -7 $$ $$ -7 = -7 $$ Равенство верное, следовательно, найденная пара чисел является решением всей системы уравнений.
Ответ: $(3; -1,6)$.

2) Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ 2x + y = 7 \\ 4x + y = 14 \end{cases} $$ Решим подсистему из второго и третьего уравнений. Для этого вычтем второе уравнение из третьего: $$ (4x + y) - (2x + y) = 14 - 7 $$ $$ 2x = 7 $$ $$ x = \frac{7}{2} = 3,5 $$ Подставим найденное значение $x=3,5$ во второе уравнение, чтобы найти $y$: $$ 2(3,5) + y = 7 $$ $$ 7 + y = 7 $$ $$ y = 0 $$ Таким образом, решением второй и третьей уравнений является пара $(3,5; 0)$. Теперь проверим, удовлетворяет ли эта пара первому уравнению системы $x - 2y = 1$: $$ 3,5 - 2(0) = 1 $$ $$ 3,5 = 1 $$ Полученное равенство неверно. Это означает, что система несовместна, то есть не существует такой пары $(x,y)$, которая удовлетворяла бы всем трем уравнениям одновременно.
Ответ: решений нет.