Номер 1278, страница 246 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 30. Решение систем линейных уравнений методом сложения. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1278, страница 246.

Условие.

1278. При каком значении $a$ имеет решение система уравнений:

$$\begin{cases} 8x - 7y = 21, \\ 5x - 3y = 20, \\ ax + 2y = 24? \end{cases}$$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Данная система состоит из трех линейных уравнений с двумя переменными ($x$ и $y$). Чтобы такая система имела решение, необходимо, чтобы точка пересечения прямых, заданных первыми двумя уравнениями, также принадлежала прямой, заданной третьим уравранением. Поскольку первые два уравнения не содержат параметр $a$, мы можем найти из них единственное решение (координаты точки пересечения).

Решим систему из первых двух уравнений:

$ \begin{cases} 8x - 7y = 21, \\ 5x - 3y = 20. \end{cases} $

Воспользуемся методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -7, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами:

$ \begin{cases} 3 \cdot (8x - 7y) = 3 \cdot 21 \\ -7 \cdot (5x - 3y) = -7 \cdot 20 \end{cases} $

$ \begin{cases} 24x - 21y = 63 \\ -35x + 21y = -140 \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения системы:

$(24x - 21y) + (-35x + 21y) = 63 + (-140)$

$24x - 35x = -77$

$-11x = -77$

$x = \frac{-77}{-11}$

$x = 7$

Подставим найденное значение $x=7$ в любое из исходных уравнений, например, во второе, для нахождения $y$:

$5x - 3y = 20$

$5(7) - 3y = 20$

$35 - 3y = 20$

$-3y = 20 - 35$

$-3y = -15$

$y = \frac{-15}{-3}$

$y = 5$

Таким образом, решение системы из первых двух уравнений — это пара чисел ($7; 5$).

Чтобы вся система имела решение, найденная пара ($x=7, y=5$) должна удовлетворять и третьему уравнению. Подставим эти значения в третье уравнение $ax + 2y = 24$ и найдем $a$:

$a \cdot 7 + 2 \cdot 5 = 24$

$7a + 10 = 24$

$7a = 24 - 10$

$7a = 14$

$a = \frac{14}{7}$

$a = 2$

Следовательно, система уравнений имеет решение только при $a=2$.

Ответ: $2$