Страница 246 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1277. При каком значении $k$ прямая $y = kx + 2$ проходит через точку пересечения прямых $3x + 5y = 5$ и $7x - 4y = 43$?

Для того чтобы прямая $y = kx + 2$ проходила через точку пересечения двух других прямых, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению данной прямой. Таким образом, задача сводится к двум шагам: сначала найти координаты точки пересечения, а затем подставить их в уравнение $y = kx + 2$ и найти $k$.

1. Нахождение точки пересечения прямых

Найдем точку пересечения прямых $3x + 5y = 5$ и $7x - 4y = 43$, решив систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 5y = 5 \\ 7x - 4y = 43 \end{cases} $

Используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 5, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами:

$ \begin{cases} 4(3x + 5y) = 4 \cdot 5 \\ 5(7x - 4y) = 5 \cdot 43 \end{cases} $

$ \begin{cases} 12x + 20y = 20 \\ 35x - 20y = 215 \end{cases} $

Теперь сложим левые и правые части уравнений:

$(12x + 35x) + (20y - 20y) = 20 + 215$

$47x = 235$

Отсюда находим значение $x$:

$x = \frac{235}{47} = 5$

Подставим найденное значение $x=5$ в первое уравнение исходной системы ($3x + 5y = 5$) для нахождения $y$:

$3(5) + 5y = 5$

$15 + 5y = 5$

$5y = 5 - 15$

$5y = -10$

$y = \frac{-10}{5} = -2$

Итак, точка пересечения прямых имеет координаты $(5; -2)$.

2. Нахождение коэффициента k

Теперь, зная, что прямая $y = kx + 2$ проходит через точку $(5; -2)$, мы можем подставить эти координаты в ее уравнение:

$-2 = k \cdot 5 + 2$

Решим это уравнение относительно $k$:

$5k = -2 - 2$

$5k = -4$

$k = -\frac{4}{5}$

Преобразовав дробь в десятичную, получаем:

$k = -0.8$

Ответ: $k = -0.8$.

1278. При каком значении $a$ имеет решение система уравнений:

$$\begin{cases} 8x - 7y = 21, \\ 5x - 3y = 20, \\ ax + 2y = 24? \end{cases}$$

Данная система состоит из трех линейных уравнений с двумя переменными ($x$ и $y$). Чтобы такая система имела решение, необходимо, чтобы точка пересечения прямых, заданных первыми двумя уравнениями, также принадлежала прямой, заданной третьим уравранением. Поскольку первые два уравнения не содержат параметр $a$, мы можем найти из них единственное решение (координаты точки пересечения).

Решим систему из первых двух уравнений:

$ \begin{cases} 8x - 7y = 21, \\ 5x - 3y = 20. \end{cases} $

Воспользуемся методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -7, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами:

$ \begin{cases} 3 \cdot (8x - 7y) = 3 \cdot 21 \\ -7 \cdot (5x - 3y) = -7 \cdot 20 \end{cases} $

$ \begin{cases} 24x - 21y = 63 \\ -35x + 21y = -140 \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения системы:

$(24x - 21y) + (-35x + 21y) = 63 + (-140)$

$24x - 35x = -77$

$-11x = -77$

$x = \frac{-77}{-11}$

$x = 7$

Подставим найденное значение $x=7$ в любое из исходных уравнений, например, во второе, для нахождения $y$:

$5x - 3y = 20$

$5(7) - 3y = 20$

$35 - 3y = 20$

$-3y = 20 - 35$

$-3y = -15$

$y = \frac{-15}{-3}$

$y = 5$

Таким образом, решение системы из первых двух уравнений — это пара чисел ($7; 5$).

Чтобы вся система имела решение, найденная пара ($x=7, y=5$) должна удовлетворять и третьему уравнению. Подставим эти значения в третье уравнение $ax + 2y = 24$ и найдем $a$:

$a \cdot 7 + 2 \cdot 5 = 24$

$7a + 10 = 24$

$7a = 24 - 10$

$7a = 14$

$a = \frac{14}{7}$

$a = 2$

Следовательно, система уравнений имеет решение только при $a=2$.

Ответ: $2$

1279. Решите уравнение:

1) $(x + y)^2 + (x - 3)^2 = 0;$

2) $(x + 2y - 3)^2 + x^2 - 4xy + 4y^2 = 0;$

3) $|x - 3y - 6| + (9x + 6y - 32)^2 = 0;$

4) $x^2 + y^2 + 10x - 12y + 61 = 0;$

5) $25x^2 + 10y^2 - 30xy + 8y + 16 = 0.$

1) $(x + y)^2 + (x - 3)^2 = 0$

Данное уравнение представляет собой сумму двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, поэтому $(x + y)^2 \ge 0$ и $(x - 3)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Это приводит к системе уравнений:

Из второго уравнения системы находим $x$: $x = 3$.

Подставляем найденное значение $x$ в первое уравнение: $3 + y = 0$.

Отсюда находим $y$: $y = -3$.

Ответ: $(3; -3)$.

2) $(x + 2y - 3)^2 + x^2 - 4xy + 4y^2 = 0$

Заметим, что выражение $x^2 - 4xy + 4y^2$ является полным квадратом разности. Используя формулу сокращенного умножения $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, получаем:

$x^2 - 4xy + 4y^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = (x - 2y)^2$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в следующем виде:

$(x + 2y - 3)^2 + (x - 2y)^2 = 0$.

Это сумма двух квадратов, которая равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю. Таким образом, получаем систему уравнений:

Из второго уравнения выразим $x$: $x = 2y$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $(2y) + 2y - 3 = 0$, что дает $4y - 3 = 0$, откуда $y = \frac{3}{4}$.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$: $x = 2y = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $(\frac{3}{2}; \frac{3}{4})$.

3) $|x - 3y - 6| + (9x + 6y - 32)^2 = 0$

Данное уравнение представляет собой сумму модуля и квадрата. Модуль любого действительного числа и квадрат любого действительного числа — это неотрицательные величины, то есть $|x - 3y - 6| \ge 0$ и $(9x + 6y - 32)^2 \ge 0$.

Сумма этих двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Это приводит к системе уравнений:

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 3y + 6$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$9(3y + 6) + 6y - 32 = 0$

$27y + 54 + 6y - 32 = 0$

$33y + 22 = 0$

$33y = -22$

$y = -\frac{22}{33} = -\frac{2}{3}$.

Теперь найдем $x$: $x = 3y + 6 = 3 \cdot (-\frac{2}{3}) + 6 = -2 + 6 = 4$.

Ответ: $(4; -\frac{2}{3})$.

4) $x^2 + y^2 + 10x - 12y + 61 = 0$

Для решения этого уравнения сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$ и выделим полные квадраты.

$(x^2 + 10x) + (y^2 - 12y) + 61 = 0$

Выделим полный квадрат для слагаемых с $x$: $x^2 + 10x = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - 5^2 = (x + 5)^2 - 25$.

Выделим полный квадрат для слагаемых с $y$: $y^2 - 12y = (y^2 - 2 \cdot y \cdot 6 + 6^2) - 6^2 = (y - 6)^2 - 36$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(x + 5)^2 - 25 + (y - 6)^2 - 36 + 61 = 0$

$(x + 5)^2 + (y - 6)^2 - 61 + 61 = 0$

$(x + 5)^2 + (y - 6)^2 = 0$

Мы снова получили сумму двух квадратов, равную нулю. Это возможно только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

Из системы находим $x = -5$ и $y = 6$.

Ответ: $(-5; 6)$.

5) $25x^2 + 10y^2 - 30xy + 8y + 16 = 0$

Преобразуем уравнение, выделив полные квадраты. Для этого сгруппируем слагаемые. Заметим, что $25x^2 = (5x)^2$ и присутствует смешанный член $-30xy$. Это указывает на возможность выделения квадрата вида $(5x - k \cdot y)^2$.

Попробуем выделить полный квадрат $(5x - 3y)^2$: $(5x - 3y)^2 = 25x^2 - 30xy + 9y^2$.

Для этого представим $10y^2$ в исходном уравнении как $9y^2 + y^2$:

$(25x^2 - 30xy + 9y^2) + y^2 + 8y + 16 = 0$

Первое выражение в скобках равно $(5x - 3y)^2$. Оставшиеся члены $y^2 + 8y + 16$ также образуют полный квадрат: $(y + 4)^2$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$(5x - 3y)^2 + (y + 4)^2 = 0$.

Сумма двух квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда оба выражения под знаком квадрата равны нулю:

Из второго уравнения находим $y = -4$.

Подставляем это значение в первое уравнение:

$5x - 3(-4) = 0$

$5x + 12 = 0$

$5x = -12$

$x = -\frac{12}{5}$.

Ответ: $(-\frac{12}{5}; -4)$.

1280. Решите уравнение:

1) $(x - 2y)^2 + (y - 5)^2 = 0;$

2) $(4x + 2y - 5)^2 + |4x - 6y + 7| = 0;$

3) $50x^2 + 4y^2 - 28xy + 16x + 64 = 0.$

1) $(x - 2y)^2 + (y - 5)^2 = 0$

Уравнение представляет собой сумму двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x - 2y)^2 \ge 0$ и $(y - 5)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю. Поэтому данное уравнение равносильно системе уравнений:$$ \begin{cases} x - 2y = 0 \\ y - 5 = 0 \end{cases} $$

Решим эту систему. Из второго уравнения сразу находим $y$:$y = 5$.

Теперь подставим найденное значение $y$ в первое уравнение:$x - 2 \cdot 5 = 0$
$x - 10 = 0$
$x = 10$.

Ответ: $(10; 5)$.

2) $(4x + 2y - 5)^2 + |4x - 6y + 7| = 0$

В этом уравнении мы имеем сумму двух неотрицательных слагаемых. Первое слагаемое — это квадрат выражения, $(4x + 2y - 5)^2 \ge 0$. Второе слагаемое — это модуль выражения, $|4x - 6y + 7| \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных величин равна нулю тогда и только тогда, когда каждая из них равна нулю. Таким образом, мы получаем систему из двух линейных уравнений:$$ \begin{cases} 4x + 2y - 5 = 0 \\ 4x - 6y + 7 = 0 \end{cases} $$

Решим эту систему методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:
$(4x + 2y - 5) - (4x - 6y + 7) = 0$
$4x + 2y - 5 - 4x + 6y - 7 = 0$
$8y - 12 = 0$
$8y = 12$
$y = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:
$4x + 2 \cdot \frac{3}{2} - 5 = 0$
$4x + 3 - 5 = 0$
$4x - 2 = 0$
$4x = 2$
$x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$.

3) $50x^2 + 4y^2 - 28xy + 16x + 64 = 0$

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полные квадраты. Сгруппируем слагаемые. Заметим, что слагаемое $-28xy$ можно представить как удвоенное произведение $2 \cdot (7x) \cdot (2y)$. Это позволяет выделить квадрат разности $(7x - 2y)^2 = 49x^2 - 28xy + 4y^2$.

Для этого представим $50x^2$ в виде суммы $49x^2 + x^2$:
$(49x^2 - 28xy + 4y^2) + x^2 + 16x + 64 = 0$.

Теперь первая группа слагаемых в скобках является полным квадратом $(7x - 2y)^2$. Вторая группа слагаемых $x^2 + 16x + 64$ также является полным квадратом, так как $16x = 2 \cdot x \cdot 8$ и $64 = 8^2$. То есть, $x^2 + 16x + 64 = (x + 8)^2$.

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде суммы квадратов:
$(7x - 2y)^2 + (x + 8)^2 = 0$.

Это уравнение, как и в первом пункте, равносильно системе уравнений, поскольку сумма квадратов равна нулю только если каждое основание равно нулю:$$ \begin{cases} 7x - 2y = 0 \\ x + 8 = 0 \end{cases} $$

Из второго уравнения находим $x$:
$x = -8$.

Подставляем это значение в первое уравнение:
$7(-8) - 2y = 0$
$-56 - 2y = 0$
$-2y = 56$
$y = -28$.

Ответ: $(-8; -28)$.

1281. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{5}{y} = 15, \\ \frac{3}{x} + \frac{8}{y} = 23; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{5}{2x - 3y} + \frac{10}{3x - 2y} = 3, \\ \frac{20}{3x - 2y} - \frac{15}{2x - 3y} = 1. \end{cases}$

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{5}{y} = 15 \\ \frac{3}{x} + \frac{8}{y} = 23 \end{cases} $. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Для решения введем замену переменных. Пусть $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$. Система уравнений преобразуется в линейную систему относительно $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} 2u + 5v = 15 \\ 3u + 8v = 23 \end{cases} $$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при переменной $u$ стали противоположными числами:

$$ \begin{cases} 3(2u + 5v) = 3 \cdot 15 \\ -2(3u + 8v) = -2 \cdot 23 \end{cases} \implies \begin{cases} 6u + 15v = 45 \\ -6u - 16v = -46 \end{cases} $$

Сложим почленно уравнения полученной системы: $(6u + 15v) + (-6u - 16v) = 45 - 46$, что приводит к уравнению $-v = -1$, откуда $v = 1$.

Подставим найденное значение $v=1$ в первое уравнение $2u + 5v = 15$: $2u + 5 \cdot 1 = 15$, откуда $2u = 10$ и $u = 5$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

$u = \frac{1}{x} \implies 5 = \frac{1}{x} \implies x = \frac{1}{5}$

$v = \frac{1}{y} \implies 1 = \frac{1}{y} \implies y = 1$

Найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(\frac{1}{5}; 1)$.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{5}{2x - 3y} + \frac{10}{3x - 2y} = 3 \\ \frac{20}{3x - 2y} - \frac{15}{2x - 3y} = 1 \end{cases} $. ОДЗ: $2x - 3y \neq 0$ и $3x - 2y \neq 0$.

Для удобства поменяем местами члены во втором уравнении: $ -\frac{15}{2x - 3y} + \frac{20}{3x - 2y} = 1$.

Введем новые переменные. Пусть $a = \frac{1}{2x - 3y}$ и $b = \frac{1}{3x - 2y}$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} 5a + 10b = 3 \\ -15a + 20b = 1 \end{cases} $$

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $a$ стали противоположными:

$$ \begin{cases} 15a + 30b = 9 \\ -15a + 20b = 1 \end{cases} $$

Сложим уравнения системы: $(15a + 30b) + (-15a + 20b) = 9 + 1$, что дает $50b = 10$, откуда $b = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$.

Подставим значение $b = \frac{1}{5}$ в первое уравнение $5a + 10b = 3$: $5a + 10 \cdot \frac{1}{5} = 3$, откуда $5a + 2 = 3$, $5a = 1$ и $a = \frac{1}{5}$.

Выполним обратную замену. Так как $a = \frac{1}{5}$ и $b = \frac{1}{5}$, мы получаем новую систему для $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} \frac{1}{2x - 3y} = \frac{1}{5} \\ \frac{1}{3x - 2y} = \frac{1}{5} \end{cases} \implies \begin{cases} 2x - 3y = 5 \\ 3x - 2y = 5 \end{cases} $$

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2:

$$ \begin{cases} 6x - 9y = 15 \\ -6x + 4y = -10 \end{cases} $$

Сложим уравнения: $(6x - 9y) + (-6x + 4y) = 15 - 10$, что дает $-5y = 5$, откуда $y = -1$.

Подставим $y = -1$ в уравнение $2x - 3y = 5$: $2x - 3(-1) = 5$, откуда $2x + 3 = 5$, $2x = 2$ и $x = 1$.

Проверим ОДЗ: $2(1) - 3(-1) = 5 \neq 0$ и $3(1) - 2(-1) = 5 \neq 0$. Условия выполнены.

Ответ: $(1; -1)$.

1282. Решите систему уравнений:

1)$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{7}{y} = 6, \\ \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 46; \end{cases} $

2)$ \begin{cases} \frac{9}{x+4y} - \frac{6}{5x-y} = -2, \\ \frac{3}{x+4y} + \frac{18}{5x-y} = 1. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{7}{y} = 6 \\ \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 46 \end{cases} $$ Для решения этой системы введем новые переменные. Пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. С учетом этих замен система примет вид: $$ \begin{cases} a - 7b = 6 \\ 2a + 3b = 46 \end{cases} $$ Теперь у нас есть система линейных уравнений относительно $a$ и $b$. Решим ее методом сложения. Умножим первое уравнение на -2, чтобы при сложении с вторым уравнением исключить переменную $a$: $$ \begin{cases} -2a + 14b = -12 \\ 2a + 3b = 46 \end{cases} $$ Сложим два уравнения системы:
$(-2a + 14b) + (2a + 3b) = -12 + 46$
$17b = 34$
$b = \frac{34}{17} = 2$
Теперь подставим найденное значение $b$ в первое уравнение системы ($a - 7b = 6$), чтобы найти $a$:
$a - 7(2) = 6$
$a - 14 = 6$
$a = 20$
Мы нашли значения для $a$ и $b$. Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
$a = \frac{1}{x} \implies 20 = \frac{1}{x} \implies x = \frac{1}{20}$
$b = \frac{1}{y} \implies 2 = \frac{1}{y} \implies y = \frac{1}{2}$
Проверка:
$\frac{1}{1/20} - \frac{7}{1/2} = 20 - 14 = 6$ (Верно)
$\frac{2}{1/20} + \frac{3}{1/2} = 2 \cdot 20 + 3 \cdot 2 = 40 + 6 = 46$ (Верно)

Ответ: $(\frac{1}{20}; \frac{1}{2})$

2)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{9}{x + 4y} - \frac{6}{5x - y} = -2 \\ \frac{3}{x + 4y} + \frac{18}{5x - y} = 1 \end{cases} $$ Введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{x + 4y}$ и $v = \frac{1}{5x - y}$. Тогда система перепишется в виде: $$ \begin{cases} 9u - 6v = -2 \\ 3u + 18v = 1 \end{cases} $$ Решим полученную систему линейных уравнений. Умножим второе уравнение на -3, чтобы исключить переменную $u$: $$ \begin{cases} 9u - 6v = -2 \\ -9u - 54v = -3 \end{cases} $$ Сложим уравнения:
$(9u - 6v) + (-9u - 54v) = -2 + (-3)$
$-60v = -5$
$v = \frac{-5}{-60} = \frac{1}{12}$
Подставим значение $v$ во второе уравнение ($3u + 18v = 1$), чтобы найти $u$:
$3u + 18(\frac{1}{12}) = 1$
$3u + \frac{3}{2} = 1$
$3u = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$
$u = -\frac{1}{6}$
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:
$u = \frac{1}{x+4y} \implies -\frac{1}{6} = \frac{1}{x+4y} \implies x + 4y = -6$
$v = \frac{1}{5x-y} \implies \frac{1}{12} = \frac{1}{5x-y} \implies 5x - y = 12$
Мы получили новую, более простую систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + 4y = -6 \\ 5x - y = 12 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$: $y = 5x - 12$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$x + 4(5x - 12) = -6$
$x + 20x - 48 = -6$
$21x = 42$
$x = \frac{42}{21} = 2$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение для $y$:
$y = 5(2) - 12 = 10 - 12 = -2$
Проверка:
$x+4y = 2+4(-2) = 2-8 = -6 \implies \frac{1}{x+4y} = -\frac{1}{6}$.
$5x-y = 5(2)-(-2) = 10+2 = 12 \implies \frac{1}{5x-y} = \frac{1}{12}$.
Первое уравнение: $9(-\frac{1}{6}) - 6(\frac{1}{12}) = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{4}{2} = -2$ (Верно).
Второе уравнение: $3(-\frac{1}{6}) + 18(\frac{1}{12}) = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1$ (Верно).

Ответ: $(2; -2)$

1283.После того как вода в чайнике закипела, его выключили. На рисунке 89 изображён график изменения температуры воды в чайнике. Пользуясь графиком, определите:

1) какой была температура воды через 10 мин после выключения чайника;

2) через сколько минут после выключения температура воды составляла 30 ${}^{\circ}\text{C}$;

3) за сколько минут температура воды снизилась с 60 ${}^{\circ}\text{C}$ до 40 ${}^{\circ}\text{C}$.

Рис. 89

1) какой была температура воды через 10 мин после выключения чайника;

Чтобы определить температуру воды через 10 минут, необходимо найти на горизонтальной оси (ось времени, обозначена как $x$) значение 10 мин. От этой точки нужно подняться вертикально вверх до пересечения с линией графика. Затем от точки пересечения провести горизонтальную линию влево до пересечения с вертикальной осью (ось температуры, обозначена как $y$). Точка на оси $y$ покажет искомую температуру. В данном случае, значению 10 мин на оси $x$ соответствует значение 60 °С на оси $y$.

Ответ: 60 °С.

2) через сколько минут после выключения температура воды составляла 30 °С;

Для ответа на этот вопрос нужно найти на вертикальной оси (ось температуры) значение 30 °С. Это значение находится ровно посередине между отметками 20 и 40. От этой точки проведем горизонтальную линию вправо до пересечения с графиком. Из точки пересечения опустим вертикальную линию вниз на горизонтальную ось (ось времени). Точка на оси $x$ покажет искомое время. В данном случае, температуре 30 °С соответствует время 50 мин.

Ответ: через 50 минут.

3) за сколько минут температура воды снизилась с 60 °С до 40 °С.

Чтобы найти промежуток времени, за который температура снизилась с 60 °С до 40 °С, нужно определить моменты времени, соответствующие этим температурам, и найти их разность.

1. Находим время, когда температура была 60 °С. По графику видим, что $T = 60$ °С при $t_1 = 10$ мин.

2. Находим время, когда температура стала 40 °С. По графику видим, что $T = 40$ °С при $t_2 = 30$ мин.

3. Вычисляем разницу во времени:

$\Delta t = t_2 - t_1 = 30 \text{ мин} - 10 \text{ мин} = 20 \text{ мин}$

Таким образом, температура воды снизилась с 60 °С до 40 °С за 20 минут.

Ответ: за 20 минут.