Страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1319. Имеется два водно-солевых раствора. Первый раствор содержит $25\%$ соли, а второй – $40\%$ соли. Сколько килограммов каждого раствора надо взять, чтобы получить $50$ кг раствора, содержащего $34\%$ соли?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ кг — это масса первого раствора с концентрацией соли 25%, а $y$ кг — масса второго раствора с концентрацией соли 40%.

По условию, общая масса итогового раствора должна быть равна 50 кг. Это дает нам первое уравнение:
$x + y = 50$

Теперь определим массу соли в каждом растворе.
Масса соли в первом растворе составляет $0.25 \cdot x$ кг.
Масса соли во втором растворе составляет $0.40 \cdot y$ кг.
В конечном растворе массой 50 кг должно содержаться 34% соли. Масса соли в нем будет равна $50 \cdot 0.34 = 17$ кг.

Сумма масс соли из двух исходных растворов должна быть равна массе соли в конечном растворе. На основе этого составим второе уравнение:
$0.25x + 0.40y = 17$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений:
$$ \begin{cases} x + y = 50 \\ 0.25x + 0.40y = 17 \end{cases} $$

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$:
$x = 50 - y$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:
$0.25(50 - y) + 0.40y = 17$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$12.5 - 0.25y + 0.40y = 17$
$0.15y = 17 - 12.5$
$0.15y = 4.5$
$y = \frac{4.5}{0.15} = \frac{450}{15} = 30$
Значит, масса второго раствора (40%-го) равна 30 кг.

Найдем массу первого раствора, подставив найденное значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 50 - 30 = 20$
Значит, масса первого раствора (25%-го) равна 20 кг.

Ответ: необходимо взять 20 кг первого раствора и 30 кг второго раствора.

Осёл и мул идут рядом с грузом на спине. Осёл жалуется на непосильную ношу, а мул отвечает: «Чего ты жалуешься? Ведь если я возьму один твой мешок, то моя ноша станет в два раза тяжелее твоей. А если ты возьмёшь один мой мешок, то твоя поклажа сравнится с моей». Скажите же, мудрые математики, сколько мешков нёс осёл и сколько нёс мул.

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений, исходя из условий, описанных в диалоге осла и мула. Предполагается, что все мешки имеют одинаковый вес.

Введение переменных

Пусть $x$ — это количество мешков, которое нёс осёл.

Пусть $y$ — это количество мешков, которое нёс мул.

Составление системы уравнений

Рассмотрим два условия, которые озвучил мул:

1. «Если я возьму один твой мешок, то моя ноша станет в два раза тяжелее твоей».

Если мул возьмет один мешок у осла, то у осла останется $x - 1$ мешков, а у мула станет $y + 1$ мешков. По условию, ноша мула станет в два раза тяжелее ноши осла. Составляем первое уравнение:

$y + 1 = 2(x - 1)$

2. «А если ты возьмёшь один мой мешок, то твоя поклажа сравнится с моей».

Если осёл возьмет один мешок у мула, то у осла станет $x + 1$ мешков, а у мула останется $y - 1$ мешков. По условию, их ноши станут равными. Составляем второе уравнение:

$x + 1 = y - 1$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} y + 1 = 2(x - 1) \\ x + 1 = y - 1 \end{cases} $

Решение системы уравнений

Упростим оба уравнения.

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = x + 1 + 1$

$y = x + 2$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$(x + 2) + 1 = 2(x - 1)$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$x + 3 = 2x - 2$

$3 + 2 = 2x - x$

$x = 5$

Итак, осёл нёс 5 мешков.

Теперь найдём $y$, подставив значение $x = 5$ в ранее полученное выражение $y = x + 2$:

$y = 5 + 2$

$y = 7$

Итак, мул нёс 7 мешков.

Проверка решения

Проверим, соответствуют ли найденные значения условиям задачи.

1. Мул забирает один мешок у осла. У осла остаётся $5 - 1 = 4$ мешка, у мула становится $7 + 1 = 8$ мешков. Действительно, ноша мула в два раза тяжелее ноши осла: $8 = 2 \times 4$. Первое условие выполняется.

2. Осёл забирает один мешок у мула. У осла становится $5 + 1 = 6$ мешков, у мула остаётся $7 - 1 = 6$ мешков. Их ноши равны: $6 = 6$. Второе условие также выполняется.

Оба условия соблюдены, следовательно, задача решена верно.

Ответ: осёл нёс 5 мешков, а мул нёс 7 мешков.

1321. (Задача из индийского фольклора) Один говорит другому: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Другой отвечает: «А если ты дашь мне 10 рупий, то я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько денег было у каждого?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть x — это количество денег (в рупиях) у первого человека, а y — количество денег у второго.

Согласно первому условию, если второй человек даст первому 100 рупий, то у первого станет $x + 100$ рупий, а у второго останется $y - 100$ рупий. При этом первый станет вдвое богаче второго. Это можно записать в виде уравнения:
$x + 100 = 2(y - 100)$

Согласно второму условию, если первый человек даст второму 10 рупий, то у первого останется $x - 10$ рупий, а у второго станет $y + 10$ рупий. При этом второй станет в 6 раз богаче первого. Это можно записать в виде второго уравнения:
$y + 10 = 6(x - 10)$

Мы получили систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} x + 100 = 2(y - 100) \\ y + 10 = 6(x - 10) \end{cases}$

Упростим оба уравнения, раскрыв скобки:
1) $x + 100 = 2y - 200 \implies x - 2y = -300$
2) $y + 10 = 6x - 60 \implies -6x + y = -70$

Решим систему. Из первого уравнения выразим x:
$x = 2y - 300$

Подставим это выражение для x во второе уравнение:
$-6(2y - 300) + y = -70$
$-12y + 1800 + y = -70$
$-11y = -70 - 1800$
$-11y = -1870$
$y = \frac{-1870}{-11}$
$y = 170$

Теперь, зная значение y, найдем x, подставив 170 в выражение для x:
$x = 2(170) - 300$
$x = 340 - 300$
$x = 40$

Таким образом, у первого человека было 40 рупий, а у второго — 170 рупий.

Ответ: У первого человека было 40 рупий, у второго — 170 рупий.

1322. Сын 6 лет тому назад был в 4 раза моложе отца, а через 12 лет он будет моложе отца в 2 раза. Сколько лет отцу и сколько – сыну?

Для решения данной задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — это текущий возраст сына, а $y$ — текущий возраст отца.

Из первого условия "Сын 6 лет тому назад был в 4 раза моложе отца" следует, что возраст отца 6 лет назад был в 4 раза больше возраста сына 6 лет назад. Возраст сына в тот момент был $x - 6$ лет, а возраст отца — $y - 6$ лет. Составим первое уравнение:
$y - 6 = 4 \cdot (x - 6)$

Из второго условия "через 12 лет он будет моложе отца в 2 раза" следует, что возраст отца через 12 лет будет в 2 раза больше возраста сына через 12 лет. Возраст сына в тот момент будет $x + 12$ лет, а возраст отца — $y + 12$ лет. Составим второе уравнение:
$y + 12 = 2 \cdot (x + 12)$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} y - 6 = 4(x - 6) \\ y + 12 = 2(x + 12)\end{cases}$

Раскроем скобки в каждом уравнении:
1) $y - 6 = 4x - 24$
2) $y + 12 = 2x + 24$

Выразим $y$ из каждого уравнения:
1) $y = 4x - 24 + 6 \implies y = 4x - 18$
2) $y = 2x + 24 - 12 \implies y = 2x + 12$

Теперь приравняем правые части этих двух выражений, чтобы найти $x$:
$4x - 18 = 2x + 12$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$4x - 2x = 12 + 18$
$2x = 30$
$x = 15$
Таким образом, текущий возраст сына — 15 лет.

Теперь найдем возраст отца, подставив значение $x = 15$ в любое из выражений для $y$. Например, во второе:
$y = 2x + 12 = 2 \cdot 15 + 12 = 30 + 12 = 42$
Следовательно, текущий возраст отца — 42 года.

Проведем проверку:
6 лет назад: сыну было $15 - 6 = 9$ лет, отцу $42 - 6 = 36$ лет. Соотношение возрастов: $36 / 9 = 4$. Верно.
Через 12 лет: сыну будет $15 + 12 = 27$ лет, отцу $42 + 12 = 54$ года. Соотношение возрастов: $54 / 27 = 2$. Верно.

Ответ: отцу 42 года, сыну 15 лет.

1323. Бабушка 6 лет тому назад была в 9 раз старше внучки, а 4 года тому назад – в 7 раз старше. Сколько лет бабушке и сколько – внучке?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $Б$ — это текущий возраст бабушки, а $В$ — текущий возраст внучки.

Из условия задачи мы можем составить систему уравнений.

Первое условие: 6 лет тому назад бабушка была в 9 раз старше внучки. Возраст бабушки 6 лет назад был $Б - 6$, а возраст внучки — $В - 6$. Запишем это в виде уравнения:
$Б - 6 = 9 \cdot (В - 6)$

Второе условие: 4 года тому назад бабушка была в 7 раз старше внучки. Возраст бабушки 4 года назад был $Б - 4$, а возраст внучки — $В - 4$. Второе уравнение будет таким:
$Б - 4 = 7 \cdot (В - 4)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$\begin{cases} Б - 6 = 9(В - 6) \\ Б - 4 = 7(В - 4)\end{cases}$

Раскроем скобки в каждом уравнении:
$\begin{cases} Б - 6 = 9В - 54 \\ Б - 4 = 7В - 28\end{cases}$

Выразим $Б$ из каждого уравнения, чтобы получить выражения, которые можно приравнять:
Из первого уравнения: $Б = 9В - 54 + 6 \implies Б = 9В - 48$
Из второго уравнения: $Б = 7В - 28 + 4 \implies Б = 7В - 24$

Теперь приравняем правые части этих двух выражений, так как левые части равны ($Б=Б$):
$9В - 48 = 7В - 24$

Решим полученное уравнение, чтобы найти возраст внучки $В$:
$9В - 7В = 48 - 24$
$2В = 24$
$В = 12$
Итак, внучке сейчас 12 лет.

Теперь, когда мы знаем возраст внучки, мы можем найти возраст бабушки, подставив значение $В=12$ в любое из выражений для $Б$. Возьмем, например, второе:
$Б = 7В - 24$
$Б = 7 \cdot 12 - 24$
$Б = 84 - 24$
$Б = 60$
Таким образом, бабушке сейчас 60 лет.

Ответ: бабушке 60 лет, а внучке 12 лет.

1324. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 45 км, одновременно навстречу друг другу отправились велосипедист и пешеход и встретились через 3 ч после начала движения. Если бы велосипедист выехал на 1 ч 15 мин раньше, чем вышел пешеход, то они встретились бы через 2 ч после выхода пешехода. С какой скоростью двигался каждый из них?

Обозначим скорость велосипедиста как $v_в$ (в км/ч), а скорость пешехода как $v_п$ (в км/ч).

1. Рассмотрим первую ситуацию:

Велосипедист и пешеход движутся навстречу друг другу. Их общая скорость сближения равна сумме их скоростей: $(v_в + v_п)$. Они встретились через 3 часа, преодолев вместе расстояние 45 км. Составим первое уравнение, используя формулу расстояния $S = v \cdot t$:

$(v_в + v_п) \cdot 3 = 45$

Разделив обе части на 3, получим:

$v_в + v_п = 15$

2. Рассмотрим вторую ситуацию:

Велосипедист выехал на 1 час 15 минут раньше пешехода. Переведем это время в часы: $1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 1 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{1}{4} \text{ ч} = 1.25$ часа.

Они встретились через 2 часа после выхода пешехода. Это означает, что пешеход был в пути 2 часа, а велосипедист был в пути $2 + 1.25 = 3.25$ часа.

За это время велосипедист проехал расстояние $v_в \cdot 3.25$ км, а пешеход прошел $v_п \cdot 2$ км. Сумма этих расстояний равна общему расстоянию между сёлами:

$3.25 \cdot v_в + 2 \cdot v_п = 45$

3. Решим систему уравнений:

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\{ \begin{array}{l} v_в + v_п = 15 \\ 3.25 v_в + 2 v_п = 45 \end{array} \}$

Из первого уравнения выразим $v_п$:

$v_п = 15 - v_в$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3.25 v_в + 2(15 - v_в) = 45$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $v_в$:

$3.25 v_в + 30 - 2v_в = 45$

$1.25 v_в = 45 - 30$

$1.25 v_в = 15$

$v_в = \frac{15}{1.25} = \frac{15}{5/4} = 15 \cdot \frac{4}{5} = 12$

Итак, скорость велосипедиста равна 12 км/ч. Теперь найдем скорость пешехода, подставив значение $v_в$ в первое, более простое уравнение:

$v_п = 15 - v_в = 15 - 12 = 3$

Скорость пешехода равна 3 км/ч.

Ответ: Скорость велосипедиста — 12 км/ч, скорость пешехода — 3 км/ч.

1325. Из пунктов $A$ и $B$, расстояние между которыми равно 24 км, одновременно навстречу друг другу вышли два туриста. Через 2 ч после начала движения они ещё не встретились, а расстояние между ними составляло 6 км. Ещё через 2 ч одному из них оставалось пройти до пункта $B$ на 4 км меньше, чем другому до пункта $A$. Найдите скорость каждого туриста.

Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого туриста, вышедшего из пункта А, и $v_2$ км/ч — скорость второго туриста, вышедшего из пункта В. Общее расстояние между пунктами А и В составляет $S = 24$ км.

1. Составление первого уравнения

Через 2 часа после начала движения туристы еще не встретились, и расстояние между ними составляло 6 км. За 2 часа первый турист прошел расстояние $s_1 = v_1 \cdot 2 = 2v_1$ км. Второй турист за это же время прошел расстояние $s_2 = v_2 \cdot 2 = 2v_2$ км. Вместе они прошли $s_1 + s_2 = 2v_1 + 2v_2$ км. Расстояние между ними равно разности начального расстояния и суммарно пройденного пути: $S - (s_1 + s_2) = 6$ $24 - (2v_1 + 2v_2) = 6$ $2v_1 + 2v_2 = 24 - 6$ $2(v_1 + v_2) = 18$ $v_1 + v_2 = 9$ Это первое уравнение. Оно представляет собой скорость сближения туристов.

2. Составление второго уравнения

Ещё через 2 часа (то есть через 4 часа после начала движения) одному из них оставалось пройти до пункта В на 4 км меньше, чем другому до пункта А. Общее время в пути составляет $t = 2 + 2 = 4$ часа. За 4 часа первый турист (идущий из А в В) прошел расстояние $S_1 = v_1 \cdot 4 = 4v_1$ км. Ему осталось пройти до пункта B: $d_1 = 24 - S_1 = 24 - 4v_1$ км. За 4 часа второй турист (идущий из В в А) прошел расстояние $S_2 = v_2 \cdot 4 = 4v_2$ км. Ему осталось пройти до пункта A: $d_2 = 24 - S_2 = 24 - 4v_2$ км. По условию, расстояние, которое осталось пройти первому туристу до пункта В, на 4 км меньше, чем расстояние, которое осталось пройти второму до пункта А. $d_1 = d_2 - 4$ $24 - 4v_1 = (24 - 4v_2) - 4$ $24 - 4v_1 = 20 - 4v_2$ $4v_2 - 4v_1 = 20 - 24$ $4(v_2 - v_1) = -4$ $v_2 - v_1 = -1$ Это можно записать как: $v_1 - v_2 = 1$ Это второе уравнение.

3. Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

Сложим первое и второе уравнения системы: $(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 9 + 1$ $2v_1 = 10$ $v_1 = 5$ км/ч.

Теперь подставим найденное значение $v_1$ в первое уравнение, чтобы найти $v_2$: $5 + v_2 = 9$ $v_2 = 9 - 5$ $v_2 = 4$ км/ч.

Таким образом, скорость туриста, вышедшего из пункта А, равна 5 км/ч, а скорость туриста, вышедшего из пункта В, равна 4 км/ч.

Ответ: скорость одного туриста 5 км/ч, скорость другого туриста 4 км/ч.

1326. Велосипедист проехал из пункта А в пункт В за намеченное время, двигаясь с некоторой скоростью. Если бы он увеличил скорость на 3 км/ч, то прибыл бы в пункт В на 1 ч раньше, а если бы он проезжал за час на 2 км меньше, то прибыл бы на 1 ч позже. Найдите скорость велосипедиста.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v$ (в км/ч) — это первоначальная (запланированная) скорость велосипедиста, а $t$ (в часах) — запланированное время в пути. Расстояние $S$ от пункта А до пункта В можно выразить как произведение скорости на время: $S = v \cdot t$.

Рассмотрим первое условие: если бы велосипедист увеличил скорость на 3 км/ч, то его новая скорость была бы $(v + 3)$ км/ч. Он прибыл бы на 1 час раньше, то есть затратил бы $(t - 1)$ час. Расстояние $S$ осталось бы тем же, поэтому мы можем составить первое уравнение:

$S = (v + 3)(t - 1)$

Поскольку $S = vt$, мы можем приравнять правые части:

$vt = (v + 3)(t - 1)$

$vt = vt - v + 3t - 3$

$0 = -v + 3t - 3$

$v = 3t - 3$

Рассмотрим второе условие: если бы велосипедист проезжал за час на 2 км меньше, это означает, что его скорость уменьшилась бы на 2 км/ч и стала бы $(v - 2)$ км/ч. Он прибыл бы на 1 час позже, то есть его время в пути составило бы $(t + 1)$ час. Расстояние $S$ снова остается неизменным, что дает нам второе уравнение:

$S = (v - 2)(t + 1)$

Приравнивая к $S = vt$, получаем:

$vt = (v - 2)(t + 1)$

$vt = vt + v - 2t - 2$

$0 = v - 2t - 2$

$v = 2t + 2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v = 3t - 3 \\ v = 2t + 2 \end{cases}$

Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части, чтобы найти $t$:

$3t - 3 = 2t + 2$

$3t - 2t = 2 + 3$

$t = 5$

Запланированное время в пути составляет 5 часов. Теперь мы можем найти первоначальную скорость $v$, подставив значение $t$ в любое из полученных выражений для $v$. Возьмем второе:

$v = 2t + 2 = 2 \cdot 5 + 2 = 10 + 2 = 12$

Таким образом, первоначальная скорость велосипедиста равна 12 км/ч.

Проверка:
При скорости 12 км/ч и времени 5 ч, расстояние $S = 12 \cdot 5 = 60$ км.
1) Скорость $12+3=15$ км/ч, время $5-1=4$ ч. Расстояние $15 \cdot 4 = 60$ км. Верно.
2) Скорость $12-2=10$ км/ч, время $5+1=6$ ч. Расстояние $10 \cdot 6 = 60$ км. Верно.

Ответ: 12 км/ч.

1327. Груз перевезли на некотором количестве одинаковых автомобилей. Если бы на каждом автомобиле груза было на 1 т больше, то их понадобилось бы на 3 меньше, а если бы на 2 т больше, то их понадобилось бы на 5 меньше. Найдите массу перевезённого груза.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — первоначальное количество автомобилей, а $y$ — масса груза (в тоннах), которую перевозил каждый автомобиль. Тогда общая масса перевезенного груза $M$ равна произведению количества автомобилей на массу груза в каждом из них:

$M = x \cdot y$

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: Если бы на каждом автомобиле груза было на 1 т больше ($y+1$), то их понадобилось бы на 3 меньше ($x-3$). Общая масса груза при этом не изменилась бы:

$(x - 3)(y + 1) = xy$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$xy + x - 3y - 3 = xy$

$x - 3y = 3$

Второе условие: Если бы на каждом автомобиле груза было на 2 т больше ($y+2$), то их понадобилось бы на 5 меньше ($x-5$). Общая масса груза также осталась бы прежней:

$(x - 5)(y + 2) = xy$

Раскроем скобки и упростим это уравнение:

$xy + 2x - 5y - 10 = xy$

$2x - 5y = 10$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x - 3y = 3 \\ 2x - 5y = 10 \end{cases}$

Для решения системы выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 3y + 3$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$2(3y + 3) - 5y = 10$

$6y + 6 - 5y = 10$

$y + 6 = 10$

$y = 4$

Таким образом, первоначальная масса груза на одном автомобиле составляла 4 тонны.

Теперь найдем первоначальное количество автомобилей $x$, подставив значение $y=4$ в выражение для $x$:

$x = 3(4) + 3 = 12 + 3 = 15$

Итак, первоначально было 15 автомобилей.

Наконец, найдем общую массу перевезенного груза $M$, которую и требовалось найти в задаче:

$M = x \cdot y = 15 \cdot 4 = 60$

Ответ: 60 т.