Номер 1327, страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1327, страница 253.

Условие.

1327. Груз перевезли на некотором количестве одинаковых автомобилей. Если бы на каждом автомобиле груза было на 1 т больше, то их понадобилось бы на 3 меньше, а если бы на 2 т больше, то их понадобилось бы на 5 меньше. Найдите массу перевезённого груза.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — первоначальное количество автомобилей, а $y$ — масса груза (в тоннах), которую перевозил каждый автомобиль. Тогда общая масса перевезенного груза $M$ равна произведению количества автомобилей на массу груза в каждом из них:

$M = x \cdot y$

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: Если бы на каждом автомобиле груза было на 1 т больше ($y+1$), то их понадобилось бы на 3 меньше ($x-3$). Общая масса груза при этом не изменилась бы:

$(x - 3)(y + 1) = xy$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$xy + x - 3y - 3 = xy$

$x - 3y = 3$

Второе условие: Если бы на каждом автомобиле груза было на 2 т больше ($y+2$), то их понадобилось бы на 5 меньше ($x-5$). Общая масса груза также осталась бы прежней:

$(x - 5)(y + 2) = xy$

Раскроем скобки и упростим это уравнение:

$xy + 2x - 5y - 10 = xy$

$2x - 5y = 10$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x - 3y = 3 \\ 2x - 5y = 10 \end{cases}$

Для решения системы выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 3y + 3$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$2(3y + 3) - 5y = 10$

$6y + 6 - 5y = 10$

$y + 6 = 10$

$y = 4$

Таким образом, первоначальная масса груза на одном автомобиле составляла 4 тонны.

Теперь найдем первоначальное количество автомобилей $x$, подставив значение $y=4$ в выражение для $x$:

$x = 3(4) + 3 = 12 + 3 = 15$

Итак, первоначально было 15 автомобилей.

Наконец, найдем общую массу перевезенного груза $M$, которую и требовалось найти в задаче:

$M = x \cdot y = 15 \cdot 4 = 60$

Ответ: 60 т.