Номер 1332, страница 254 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1332, страница 254.

Условие.

1332. Сумма цифр двузначного числа равна 9, причём цифра в разряде десятков больше цифры в разряде единиц. При делении данного числа на разность его цифр получили неполное частное 14 и остаток 2. Найдите данное число.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра в разряде десятков, а $b$ — это цифра в разряде единиц. По определению, $a$ и $b$ являются целыми числами от 0 до 9, причем $a \neq 0$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

1. Сумма цифр равна 9. Это дает нам первое уравнение:
$a + b = 9$.

2. Цифра в разряде десятков больше цифры в разряде единиц. Это дает нам неравенство:
$a > b$.

3. При делении данного числа ($10a + b$) на разность его цифр ($a - b$, так как $a > b$) получили неполное частное 14 и остаток 2. Это можно записать в виде уравнения деления с остатком:
$10a + b = 14 \cdot (a - b) + 2$.

Теперь приступим к решению. Сначала упростим третье уравнение:

$10a + b = 14a - 14b + 2$

Перенесем члены с переменными в одну сторону, а свободные члены в другую:

$14b + b = 14a - 10a + 2$

$15b = 4a + 2$

Запишем это уравнение в стандартном виде:

$4a - 15b = -2$

Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} a + b = 9 \\ 4a - 15b = -2 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим переменную $a$ через $b$:

$a = 9 - b$

Подставим это выражение для $a$ во второе уравнение системы:

$4(9 - b) - 15b = -2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $b$:

$36 - 4b - 15b = -2$

$36 - 19b = -2$

$-19b = -2 - 36$

$-19b = -38$

$b = \frac{-38}{-19} = 2$

Теперь, зная значение $b$, найдем $a$:

$a = 9 - b = 9 - 2 = 7$

Итак, мы нашли цифры: цифра десятков $a = 7$, цифра единиц $b = 2$. Следовательно, искомое число — 72.

Проверим, удовлетворяет ли найденное число всем условиям задачи:

1. Сумма цифр: $7 + 2 = 9$. (Верно)

2. Цифра десятков больше цифры единиц: $7 > 2$. (Верно)

3. Деление с остатком: разность цифр равна $7 - 2 = 5$. При делении 72 на 5 получаем $72 = 14 \cdot 5 + 2$. Неполное частное равно 14, остаток равен 2. (Верно)

Все условия выполнены.

Ответ: 72.