Номер 1339, страница 255 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1339, страница 255.

Условие.

1339.В равенстве $4(0,5x - 3) = 3x + *$ замените звёздочку таким выражением, чтобы образовалось уравнение:

1) не имеющее корней;

2) имеющее бесконечно много корней;

3) имеющее один корень.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Исходное равенство: $4(0,5x - 3) = 3x + *$.

Сначала упростим левую часть равенства, раскрыв скобки:

$4 \cdot 0,5x - 4 \cdot 3 = 2x - 12$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$2x - 12 = 3x + *$.

Чтобы проанализировать количество корней, приведем уравнение к стандартному виду $ax = b$. Для этого заменим звездочку ($*$) на общее выражение $kx + c$, где $k$ и $c$ — некоторые числа.

$2x - 12 = 3x + kx + c$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2x - 3x - kx = 12 + c$

Вынесем $x$ за скобки:

$(2 - 3 - k)x = 12 + c$

$(-1 - k)x = 12 + c$

Мы получили линейное уравнение вида $ax = b$, где $a = -1 - k$ и $b = 12 + c$. Количество корней такого уравнения зависит от значений $a$ и $b$.

1) не имеющее корней;

Линейное уравнение $ax = b$ не имеет корней, если коэффициент при $x$ равен нулю, а правая часть не равна нулю, то есть $a = 0$ и $b \neq 0$.

В нашем случае это означает:

$a = -1 - k = 0 \Rightarrow k = -1$

$b = 12 + c \neq 0 \Rightarrow c \neq -12$

Следовательно, чтобы уравнение не имело корней, нужно заменить звездочку выражением вида $-x + c$, где $c$ — любое число, кроме $-12$. Выберем в качестве примера $c=5$. Тогда искомое выражение — это $-x + 5$.

Проверим, подставив это выражение в исходное уравнение:

$4(0,5x - 3) = 3x + (-x + 5)$

$2x - 12 = 2x + 5$

$-12 = 5$

Получено неверное числовое равенство. Это означает, что уравнение действительно не имеет корней.

Ответ: $-x + 5$.

2) имеющее бесконечно много корней;

Линейное уравнение $ax = b$ имеет бесконечно много корней, если и коэффициент при $x$, и правая часть равны нулю, то есть $a = 0$ и $b = 0$.

В нашем случае это означает:

$a = -1 - k = 0 \Rightarrow k = -1$

$b = 12 + c = 0 \Rightarrow c = -12$

Следовательно, искомое выражение $kx+c$ должно быть равно $-1 \cdot x + (-12)$, то есть $-x - 12$.

Проверим, подставив это выражение в исходное уравнение:

$4(0,5x - 3) = 3x + (-x - 12)$

$2x - 12 = 2x - 12$

$0 = 0$

Получено верное тождество, которое истинно для любого значения $x$. Это означает, что уравнение имеет бесконечно много корней.

Ответ: $-x - 12$.

3) имеющее один корень.

Линейное уравнение $ax = b$ имеет один корень, если коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $a \neq 0$.

В нашем случае это означает:

$a = -1 - k \neq 0 \Rightarrow k \neq -1$

Мы можем выбрать любое значение для $k$, кроме $-1$, и любое значение для $c$. Самый простой вариант — выбрать выражение, не содержащее $x$, то есть взять $k=0$. Это удовлетворяет условию $k \neq -1$.

Пусть, например, $k=0$ и $c=1$. Тогда искомое выражение — это число $1$.

Проверим, подставив это выражение в исходное уравнение:

$4(0,5x - 3) = 3x + 1$

$2x - 12 = 3x + 1$

$2x - 3x = 1 + 12$

$-x = 13$

$x = -13$

Уравнение имеет единственный корень $x = -13$.

Ответ: $1$.