Номер 1342, страница 255 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1342, страница 255.

Условие.

1342. Представьте выражение $12ab$ в виде разности квадратов двух многочленов. Сколько решений имеет задача?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы представить выражение в виде разности квадратов двух многочленов, воспользуемся тождеством, которое связывает произведение двух выражений с разностью их квадратов. Вспомним формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

Вычтем из первого тождества второе:

$(x+y)^2 - (x-y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 4xy$

Отсюда получаем формулу для представления произведения через разность квадратов:

$xy = \frac{(x+y)^2 - (x-y)^2}{4} = \left(\frac{x+y}{2}\right)^2 - \left(\frac{x-y}{2}\right)^2$

Заменим в этой формуле произведение $xy$ на данное в задаче выражение $12ab$. Мы должны представить $12ab$ в виде произведения двух многочленов $U$ и $V$, то есть $12ab = U \cdot V$. Тогда искомые многочлены, квадраты которых мы ищем, будут равны $X = \frac{U+V}{2}$ и $Y = \frac{V-U}{2}$.

Представьте выражение 12ab в виде разности квадратов двух многочленов.

Рассмотрим несколько способов разложить $12ab$ на два множителя $U$ и $V$.

Способ 1:

Пусть $U = 2a$ и $V = 6b$. Их произведение равно $U \cdot V = 2a \cdot 6b = 12ab$.
Найдем многочлены $X$ и $Y$:
$X = \frac{U+V}{2} = \frac{2a+6b}{2} = a+3b$
$Y = \frac{V-U}{2} = \frac{6b-2a}{2} = 3b-a$
Тогда представление имеет вид:
$12ab = (a+3b)^2 - (3b-a)^2$. Так как $(3b-a)^2 = (-(a-3b))^2 = (a-3b)^2$, то можно записать:
$12ab = (a+3b)^2 - (a-3b)^2$.

Способ 2:

Пусть $U = 6a$ и $V = 2b$. Их произведение $U \cdot V = 6a \cdot 2b = 12ab$.
Найдем многочлены $X$ и $Y$:
$X = \frac{6a+2b}{2} = 3a+b$
$Y = \frac{2b-6a}{2} = b-3a$
Тогда представление имеет вид:
$12ab = (3a+b)^2 - (b-3a)^2$ или $12ab = (3a+b)^2 - (3a-b)^2$.

Способ 3:

Пусть $U = 6$ и $V = 2ab$. Их произведение $U \cdot V = 6 \cdot 2ab = 12ab$.
Найдем многочлены $X$ и $Y$:
$X = \frac{6+2ab}{2} = 3+ab$
$Y = \frac{2ab-6}{2} = ab-3$
Тогда представление имеет вид:
$12ab = (ab+3)^2 - (ab-3)^2$.

Сколько решений имеет задача?

Решение задачи сводится к выбору двух множителей $U$ и $V$ таких, что $U \cdot V = 12ab$. Выбор этих множителей не ограничен только целыми коэффициентами или одночленами. Мы можем выбрать в качестве множителя $U$ любое ненулевое число или многочлен.

Например, пусть $U = k$, где $k$ — любое отличное от нуля действительное число. Тогда $V = \frac{12ab}{k}$.
Искомые многочлены будут равны:
$X = \frac{k + \frac{12ab}{k}}{2} = \frac{k}{2} + \frac{6ab}{k}$
$Y = \frac{\frac{12ab}{k} - k}{2} = \frac{6ab}{k} - \frac{k}{2}$
Поскольку в качестве $k$ можно подставить любое ненулевое число (например, $1, 2, 5, \frac{1}{3}, \sqrt{2}$ и т.д.), для каждого значения $k$ мы получим новую пару многочленов $X$ и $Y$.

Например, если $k=1$, то $U=1, V=12ab$.
$X = \frac{1+12ab}{2} = 6ab + \frac{1}{2}$
$Y = \frac{12ab-1}{2} = 6ab - \frac{1}{2}$
И представление: $12ab = (6ab + \frac{1}{2})^2 - (6ab - \frac{1}{2})^2$.

Так как существует бесконечное множество способов выбрать множитель $k$, то существует бесконечное множество способов представить выражение $12ab$ в виде разности квадратов двух многочленов.

Ответ:
Пример представления: $12ab = (a+3b)^2 - (a-3b)^2$.
Задача имеет бесконечное множество решений.