Номер 1345, страница 256 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1345, страница 256.

Условие.

1345. Разложите на множители выражение:

1) $4kn + 6ak + 6an + 9a^2;$

2) $b^6 - 4b^4 + 12b^2 - 9;$

3) $y^4(x^2 + 8x + 16) - a^8;$

4) $9x^2 - 6x - 35.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для разложения на множители выражения $4kn + 6ak + 6an + 9a^2$ воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(4kn + 6ak) + (6an + 9a^2)$
Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $2k$, во второй — $3a$:
$2k(2n + 3a) + 3a(2n + 3a)$
Теперь мы видим общий множитель $(2n + 3a)$, который также можно вынести за скобки:
$(2n + 3a)(2k + 3a)$
Ответ: $(2n + 3a)(2k + 3a)$.

2) Рассмотрим выражение $b^6 - 4b^4 + 12b^2 - 9$. Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить формулу сокращенного умножения. Вынесем минус за скобку у последних трех слагаемых:
$b^6 - (4b^4 - 12b^2 + 9)$
Выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности: $4b^4 - 12b^2 + 9 = (2b^2)^2 - 2 \cdot (2b^2) \cdot 3 + 3^2 = (2b^2 - 3)^2$.
Подставим это обратно в исходное выражение:
$b^6 - (2b^2 - 3)^2$
Теперь мы имеем разность квадратов, так как $b^6 = (b^3)^2$. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$(b^3)^2 - (2b^2 - 3)^2 = (b^3 - (2b^2 - 3))(b^3 + (2b^2 - 3))$
Раскроем внутренние скобки:
$(b^3 - 2b^2 + 3)(b^3 + 2b^2 - 3)$
Данные кубические многочлены можно разложить дальше, найдя их целочисленные корни. Для многочлена $b^3 + 2b^2 - 3$ корень $b=1$, тогда $(b^3 + 2b^2 - 3) = (b-1)(b^2+3b+3)$. Для многочлена $b^3 - 2b^2 + 3$ корень $b=-1$, тогда $(b^3 - 2b^2 + 3) = (b+1)(b^2-3b+3)$. Квадратные трехчлены $b^2+3b+3$ и $b^2-3b+3$ не имеют действительных корней и дальше не раскладываются.
Ответ: $(b-1)(b+1)(b^2 - 3b + 3)(b^2 + 3b + 3)$.

3) В выражении $y^4(x^2 + 8x + 16) - a^8$ заметим, что выражение в скобках является полным квадратом:
$x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x+4)^2$
Подставим это в исходное выражение:
$y^4(x+4)^2 - a^8$
Это выражение можно представить в виде разности квадратов, заметив, что $y^4(x+4)^2 = (y^2(x+4))^2$ и $a^8 = (a^4)^2$:
$(y^2(x+4))^2 - (a^4)^2$
Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:
$(y^2(x+4) - a^4)(y^2(x+4) + a^4)$
Раскроем скобки внутри множителей для окончательного вида:
$(xy^2 + 4y^2 - a^4)(xy^2 + 4y^2 + a^4)$
Ответ: $(xy^2 + 4y^2 - a^4)(xy^2 + 4y^2 + a^4)$.

4) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $9x^2 - 6x - 35$, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $9x^2 - 6x - 35 = 0$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-35) = 36 + 1260 = 1296 = 36^2$
Теперь найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{6 + 36}{2 \cdot 9} = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}$
$x_2 = \frac{6 - 36}{2 \cdot 9} = \frac{-30}{18} = -\frac{5}{3}$
Воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:
$9(x - \frac{7}{3})(x - (-\frac{5}{3})) = 9(x - \frac{7}{3})(x + \frac{5}{3})$
Чтобы получить множители с целыми коэффициентами, внесем множитель 9 (представив его как $3 \cdot 3$) в скобки:
$(3(x - \frac{7}{3}))(3(x + \frac{5}{3})) = (3x - 7)(3x + 5)$
Ответ: $(3x - 7)(3x + 5)$.