Номер 1344, страница 256 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1344, страница 256.

Условие.

1344. Докажите тождество $ (a - bc)^2 - 2(b^2c^2 - a^2) + (bc + a)^2 = 4a^2 $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, последовательно раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, чтобы показать, что она равна правой части.

Левая часть равенства: $(a - bc)^2 - 2(b^2c^2 - a^2) + (bc + a)^2$.

1. Раскроем первую скобку, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a - bc)^2 = a^2 - 2abc + (bc)^2 = a^2 - 2abc + b^2c^2$.

2. Раскроем вторую скобку, умножив $-2$ на каждый член внутри нее:

$-2(b^2c^2 - a^2) = -2b^2c^2 + 2a^2$.

3. Раскроем третью скобку, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(bc + a)^2 = (bc)^2 + 2abc + a^2 = b^2c^2 + 2abc + a^2$.

4. Теперь подставим все раскрытые части обратно в исходное выражение:

$ (a^2 - 2abc + b^2c^2) + (-2b^2c^2 + 2a^2) + (b^2c^2 + 2abc + a^2) $

5. Уберем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$a^2 - 2abc + b^2c^2 - 2b^2c^2 + 2a^2 + b^2c^2 + 2abc + a^2 = (a^2 + 2a^2 + a^2) + (-2abc + 2abc) + (b^2c^2 - 2b^2c^2 + b^2c^2)$.

6. Выполним сложение и вычитание в каждой группе:

$4a^2 + 0 + 0 = 4a^2$.

В результате преобразований левая часть тождества оказалась равна $4a^2$, что совпадает с его правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.