Номер 1341, страница 255 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1341, страница 255.

Условие.

1341. Постройте график функции $\begin{cases}2x+7, & \text{если } x < -2, \\-1.5x, & \text{если } -2 \le x \le 2, \\x-5, & \text{если } x > 2.\end{cases}$

Используя построенный график, определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ имеет с этим графиком ровно две общие точки.

Решение 1.

Решение 5.

Постройте график функции $y = \begin{cases} 2x+7, & \text{если } x < -2 \\ -1.5x, & \text{если } -2 \le x \le 2 \\ x-5, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Для построения графика данной кусочно-заданной функции рассмотрим каждый из трех интервалов отдельно.

1. На промежутке $x < -2$ функция задается формулой $y = 2x + 7$. Это линейная функция, ее график — луч. Для построения найдем координаты двух точек. В граничной точке $x = -2$ имеем $y = 2(-2) + 7 = 3$. Так как неравенство строгое ($x < -2$), точка $(-2, 3)$ будет выколотой (не будет принадлежать этой части графика). В качестве второй точки возьмем $x = -4$, тогда $y = 2(-4) + 7 = -1$. Таким образом, эта часть графика — луч, выходящий из выколотой точки $(-2, 3)$ и проходящий через точку $(-4, -1)$.

2. На промежутке $-2 \le x \le 2$ функция задается формулой $y = -1.5x$. Это линейная функция, ее график — отрезок. Найдем координаты его концов. При $x = -2$ имеем $y = -1.5(-2) = 3$. Получаем точку $(-2, 3)$. При $x = 2$ имеем $y = -1.5(2) = -3$. Получаем точку $(2, -3)$. Эта часть графика — отрезок, соединяющий точки $(-2, 3)$ и $(2, -3)$. Заметим, что в точке $x=-2$ график непрерывен, так как выколотая точка от первого участка "закрывается" закрашенной точкой от второго.

3. На промежутке $x > 2$ функция задается формулой $y = x - 5$. Это линейная функция, ее график — луч. В граничной точке $x = 2$ имеем $y = 2 - 5 = -3$. Так как неравенство строгое ($x > 2$), точка $(2, -3)$ будет выколотой. В качестве второй точки возьмем $x = 5$, тогда $y = 5 - 5 = 0$. Эта часть графика — луч, выходящий из выколотой точки $(2, -3)$ и проходящий через точку $(5, 0)$. В точке $x=2$ график также непрерывен, так как конец отрезка из второго пункта находится в точке $(2, -3)$.

Итоговый график представляет собой непрерывную ломаную линию, состоящую из двух лучей и отрезка между ними. График имеет точку локального максимума $(-2, 3)$ и точку локального минимума $(2, -3)$.

Ответ: График функции построен.

Используя построенный график, определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ имеет с этим графиком ровно две общие точки.

Прямая $y=a$ — это горизонтальная прямая. Число общих точек этой прямой с графиком функции равно числу решений уравнения $f(x)=a$. Проанализируем количество пересечений, мысленно перемещая прямую $y=a$ вдоль оси ординат.

Из построенного графика видно, что:

— Если прямая $y=a$ проходит через точку локального максимума, то есть при $a = 3$, она имеет с графиком две общие точки. Одна точка — это сам максимум $(-2, 3)$. Вторая точка лежит на луче $y = x - 5$: $3 = x - 5 \implies x = 8$. Точка $(8, 3)$ принадлежит графику. Итого две общие точки.

— Если прямая $y=a$ проходит через точку локального минимума, то есть при $a = -3$, она также имеет с графиком две общие точки. Одна точка — это сам минимум $(2, -3)$. Вторая точка лежит на луче $y = 2x + 7$: $-3 = 2x + 7 \implies 2x = -10 \implies x = -5$. Точка $(-5, -3)$ принадлежит графику. Итого две общие точки.

— При $a > 3$ прямая пересекает только луч $y = x - 5$, что дает одну общую точку.

— При $-3 < a < 3$ прямая пересекает все три части графика: луч $y=2x+7$, отрезок $y=-1.5x$ и луч $y=x-5$, что дает три общие точки.

— При $a < -3$ прямая пересекает только луч $y = 2x + 7$, что дает одну общую точку.

Таким образом, прямая $y=a$ имеет с графиком ровно две общие точки только тогда, когда она проходит через вершины ломаной — точки локального максимума и минимума.

Ответ: $a = -3; 3$.