Номер 1335, страница 254 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1335, страница 254.

Условие.

1335. В двух бочках ёмкостью 40 л и 60 л было некоторое количество воды. Если в меньшую бочку долить доверху воды из большей, то в большей останется $\frac{5}{7}$ количества воды, которое было в ней сначала. Если в большую бочку долить доверху воды из меньшей, то в меньшей останется $\frac{5}{14}$ количества воды, которое было в ней сначала. Сколько литров воды было в каждой бочке сначала?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи введем переменные, чтобы описать начальное количество воды в каждой бочке, а затем составим систему уравнений на основе предоставленных условий.

Пусть $x$ — это начальное количество литров воды в меньшей бочке (ёмкостью 40 л).

Пусть $y$ — это начальное количество литров воды в большей бочке (ёмкостью 60 л).

Теперь рассмотрим каждое условие и переведем его в математическое уравнение.

1. Первое условие: «Если в меньшую бочку долить доверху воды из большей, то в большей останется $\frac{5}{7}$ количества воды, которое было в ней сначала».

Меньшей бочке, в которой находится $x$ литров, для полного заполнения до 40 л не хватает $40 - x$ литров. Это количество воды переливают из большей бочки. Изначально в большей бочке было $y$ литров. После переливания в ней останется $y - (40 - x)$ литров. Согласно условию, это количество составляет $\frac{5}{7}$ от первоначального объёма $y$.

Составляем первое уравнение:

$y - (40 - x) = \frac{5}{7}y$

Упростим это уравнение:

$y - 40 + x = \frac{5}{7}y$

$x + y - \frac{5}{7}y = 40$

$x + \frac{2}{7}y = 40$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 7:

$7x + 2y = 280$

2. Второе условие: «Если в большую бочку долить доверху воды из меньшей, то в меньшей останется $\frac{5}{14}$ количества воды, которое было в ней сначала».

Большой бочке, в которой находится $y$ литров, для полного заполнения до 60 л не хватает $60 - y$ литров. Это количество воды переливают из меньшей бочки, где изначально было $x$ литров. После переливания в меньшей бочке останется $x - (60 - y)$ литров. Согласно условию, это количество составляет $\frac{5}{14}$ от первоначального объёма $x$.

Составляем второе уравнение:

$x - (60 - y) = \frac{5}{14}x$

Упростим это уравнение:

$x - 60 + y = \frac{5}{14}x$

$y + x - \frac{5}{14}x = 60$

$y + \frac{9}{14}x = 60$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 14:

$14y + 9x = 840$

3. Решение системы уравнений.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 7x + 2y = 280 \\ 9x + 14y = 840 \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки или сложения. Удобнее использовать метод сложения, предварительно умножив первое уравнение на 7, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными по знаку (или равными).

Умножим первое уравнение на 7:

$7 \cdot (7x + 2y) = 7 \cdot 280$

$49x + 14y = 1960$

Теперь вычтем второе уравнение ($9x + 14y = 840$) из полученного нами нового уравнения:

$(49x + 14y) - (9x + 14y) = 1960 - 840$

$40x = 1120$

$x = \frac{1120}{40} = 28$

Мы нашли, что в меньшей бочке было 28 литров воды. Теперь найдем количество воды в большей бочке, подставив значение $x=28$ в любое из уравнений. Возьмем первое: $7x + 2y = 280$.

$7(28) + 2y = 280$

$196 + 2y = 280$

$2y = 280 - 196$

$2y = 84$

$y = \frac{84}{2} = 42$

Таким образом, в большей бочке было 42 литра воды.

Проверим полученные результаты.В меньшей бочке 28 л, в большей 42 л.1. Доливаем в меньшую бочку доверху: $40 - 28 = 12$ л. Берем из большей: $42 - 12 = 30$ л. Проверяем остаток: $\frac{5}{7} \cdot 42 = 5 \cdot 6 = 30$ л. Условие выполнено.2. Доливаем в большую бочку доверху: $60 - 42 = 18$ л. Берем из меньшей: $28 - 18 = 10$ л. Проверяем остаток: $\frac{5}{14} \cdot 28 = 5 \cdot 2 = 10$ л. Условие выполнено.Все условия задачи соблюдены.

Ответ: В меньшей бочке (ёмкостью 40 л) было 28 литров воды, а в большей бочке (ёмкостью 60 л) было 42 литра воды.