Номер 1328, страница 254 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1328, страница 254.

Условие.

1328. Автобус и маршрутное такси выезжают ежедневно навстречу друг другу по расписанию в 8 ч из городов Вишнёвое и Яблоневое, расстояние между которыми 18 км, и встречаются в 8 ч 10 мин. Однажды автобус выехал по расписанию, а такси – с опозданием: в 8 ч 9 мин. Поэтому в тот день они встретились в 8 ч 15 мин. Найдите скорости автобуса и маршрутного такси.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $v_а$ — скорость автобуса в км/ч, а $v_т$ — скорость маршрутного такси в км/ч. Расстояние между городами, которое они должны преодолеть вместе, составляет $S = 18$ км.

Ситуация 1: Обычный день

Автобус и маршрутное такси выезжают одновременно в 8:00 и встречаются в 8:10. Следовательно, время в пути до встречи для обоих составляет 10 минут.

Переведём время в часы: $t_1 = 10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}$.

За это время они вместе проезжают всё расстояние. Скорость их сближения равна сумме их скоростей $(v_а + v_т)$. Используя формулу $S = v \cdot t$, получаем первое уравнение:

$(v_а + v_т) \cdot t_1 = S$

$(v_а + v_т) \cdot \frac{1}{6} = 18$

$v_а + v_т = 18 \cdot 6$

$v_а + v_т = 108$

Ситуация 2: Такси опоздало

Автобус выехал в 8:00, а такси — в 8:09. Они встретились в 8:15.

Время в пути для автобуса: $t_а = 8:15 - 8:00 = 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$.

Время в пути для такси: $t_т = 8:15 - 8:09 = 6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = \frac{1}{10} \text{ ч}$.

Расстояние, которое проехал автобус, равно $S_а = v_а \cdot t_а = \frac{1}{4} v_а$.

Расстояние, которое проехало такси, равно $S_т = v_т \cdot t_т = \frac{1}{10} v_т$.

Сумма этих расстояний равна общему расстоянию между городами. Составим второе уравнение:

$S_а + S_т = S$

$\frac{1}{4} v_а + \frac{1}{10} v_т = 18$

Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_а + v_т = 108 \\ \frac{1}{4} v_а + \frac{1}{10} v_т = 18 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_а$:

$v_а = 108 - v_т$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{1}{4}(108 - v_т) + \frac{1}{10} v_т = 18$

Для удобства вычислений умножим всё уравнение на 20 (наименьшее общее кратное для 4 и 10):

$20 \cdot \frac{1}{4}(108 - v_т) + 20 \cdot \frac{1}{10} v_т = 18 \cdot 20$

$5(108 - v_т) + 2v_т = 360$

$540 - 5v_т + 2v_т = 360$

$540 - 3v_т = 360$

$3v_т = 540 - 360$

$3v_т = 180$

$v_т = 60$ (км/ч)

Теперь найдём скорость автобуса, подставив найденное значение $v_т$ в выражение для $v_а$:

$v_а = 108 - 60 = 48$ (км/ч)

Ответ: скорость автобуса — 48 км/ч, скорость маршрутного такси — 60 км/ч.