Номер 1325, страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1325, страница 253.

Условие.

1325. Из пунктов $A$ и $B$, расстояние между которыми равно 24 км, одновременно навстречу друг другу вышли два туриста. Через 2 ч после начала движения они ещё не встретились, а расстояние между ними составляло 6 км. Ещё через 2 ч одному из них оставалось пройти до пункта $B$ на 4 км меньше, чем другому до пункта $A$. Найдите скорость каждого туриста.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого туриста, вышедшего из пункта А, и $v_2$ км/ч — скорость второго туриста, вышедшего из пункта В. Общее расстояние между пунктами А и В составляет $S = 24$ км.

1. Составление первого уравнения

Через 2 часа после начала движения туристы еще не встретились, и расстояние между ними составляло 6 км. За 2 часа первый турист прошел расстояние $s_1 = v_1 \cdot 2 = 2v_1$ км. Второй турист за это же время прошел расстояние $s_2 = v_2 \cdot 2 = 2v_2$ км. Вместе они прошли $s_1 + s_2 = 2v_1 + 2v_2$ км. Расстояние между ними равно разности начального расстояния и суммарно пройденного пути: $S - (s_1 + s_2) = 6$ $24 - (2v_1 + 2v_2) = 6$ $2v_1 + 2v_2 = 24 - 6$ $2(v_1 + v_2) = 18$ $v_1 + v_2 = 9$ Это первое уравнение. Оно представляет собой скорость сближения туристов.

2. Составление второго уравнения

Ещё через 2 часа (то есть через 4 часа после начала движения) одному из них оставалось пройти до пункта В на 4 км меньше, чем другому до пункта А. Общее время в пути составляет $t = 2 + 2 = 4$ часа. За 4 часа первый турист (идущий из А в В) прошел расстояние $S_1 = v_1 \cdot 4 = 4v_1$ км. Ему осталось пройти до пункта B: $d_1 = 24 - S_1 = 24 - 4v_1$ км. За 4 часа второй турист (идущий из В в А) прошел расстояние $S_2 = v_2 \cdot 4 = 4v_2$ км. Ему осталось пройти до пункта A: $d_2 = 24 - S_2 = 24 - 4v_2$ км. По условию, расстояние, которое осталось пройти первому туристу до пункта В, на 4 км меньше, чем расстояние, которое осталось пройти второму до пункта А. $d_1 = d_2 - 4$ $24 - 4v_1 = (24 - 4v_2) - 4$ $24 - 4v_1 = 20 - 4v_2$ $4v_2 - 4v_1 = 20 - 24$ $4(v_2 - v_1) = -4$ $v_2 - v_1 = -1$ Это можно записать как: $v_1 - v_2 = 1$ Это второе уравнение.

3. Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$$\begin{cases} v_1 + v_2 = 9 \\ v_1 - v_2 = 1\end{cases}$$

Сложим первое и второе уравнения системы: $(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 9 + 1$ $2v_1 = 10$ $v_1 = 5$ км/ч.

Теперь подставим найденное значение $v_1$ в первое уравнение, чтобы найти $v_2$: $5 + v_2 = 9$ $v_2 = 9 - 5$ $v_2 = 4$ км/ч.

Таким образом, скорость туриста, вышедшего из пункта А, равна 5 км/ч, а скорость туриста, вышедшего из пункта В, равна 4 км/ч.

Ответ: скорость одного туриста 5 км/ч, скорость другого туриста 4 км/ч.