Номер 1322, страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1322, страница 253.

Условие.

1322. Сын 6 лет тому назад был в 4 раза моложе отца, а через 12 лет он будет моложе отца в 2 раза. Сколько лет отцу и сколько – сыну?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данной задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — это текущий возраст сына, а $y$ — текущий возраст отца.

Из первого условия "Сын 6 лет тому назад был в 4 раза моложе отца" следует, что возраст отца 6 лет назад был в 4 раза больше возраста сына 6 лет назад. Возраст сына в тот момент был $x - 6$ лет, а возраст отца — $y - 6$ лет. Составим первое уравнение:
$y - 6 = 4 \cdot (x - 6)$

Из второго условия "через 12 лет он будет моложе отца в 2 раза" следует, что возраст отца через 12 лет будет в 2 раза больше возраста сына через 12 лет. Возраст сына в тот момент будет $x + 12$ лет, а возраст отца — $y + 12$ лет. Составим второе уравнение:
$y + 12 = 2 \cdot (x + 12)$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} y - 6 = 4(x - 6) \\ y + 12 = 2(x + 12)\end{cases}$

Раскроем скобки в каждом уравнении:
1) $y - 6 = 4x - 24$
2) $y + 12 = 2x + 24$

Выразим $y$ из каждого уравнения:
1) $y = 4x - 24 + 6 \implies y = 4x - 18$
2) $y = 2x + 24 - 12 \implies y = 2x + 12$

Теперь приравняем правые части этих двух выражений, чтобы найти $x$:
$4x - 18 = 2x + 12$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$4x - 2x = 12 + 18$
$2x = 30$
$x = 15$
Таким образом, текущий возраст сына — 15 лет.

Теперь найдем возраст отца, подставив значение $x = 15$ в любое из выражений для $y$. Например, во второе:
$y = 2x + 12 = 2 \cdot 15 + 12 = 30 + 12 = 42$
Следовательно, текущий возраст отца — 42 года.

Проведем проверку:
6 лет назад: сыну было $15 - 6 = 9$ лет, отцу $42 - 6 = 36$ лет. Соотношение возрастов: $36 / 9 = 4$. Верно.
Через 12 лет: сыну будет $15 + 12 = 27$ лет, отцу $42 + 12 = 54$ года. Соотношение возрастов: $54 / 27 = 2$. Верно.

Ответ: отцу 42 года, сыну 15 лет.