Номер 1316, страница 252 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1316, страница 252.

Условие.

1316. Известно, что $60\%$ числа $a$ на $2$ больше, чем $70\%$ числа $b$, а $50\%$ числа $b$ на $10$ больше, чем $\frac{1}{3}$ числа $a$. Найдите числа $a$ и $b$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть искомые числа — это $a$ и $b$. Составим систему уравнений на основе условий задачи.

Первое условие гласит: "60% числа $a$ на 2 больше, чем 70% числа $b$". Представим проценты в виде десятичных дробей: $60\% = 0.6$ и $70\% = 0.7$. Математически это записывается как:
$0.6a = 0.7b + 2$

Второе условие гласит: "50% числа $b$ на 10 больше, чем $\frac{1}{3}$ числа $a$". Представим 50% как $0.5$. Математически это записывается как:
$0.5b = \frac{1}{3}a + 10$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:$$ \begin{cases} 0.6a = 0.7b + 2 \\ 0.5b = \frac{1}{3}a + 10 \end{cases} $$Упростим эту систему, чтобы избавиться от дробных чисел. Умножим первое уравнение на 10, а второе — на 6 (наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, так как $0.5 = \frac{1}{2}$):$$ \begin{cases} 10(0.6a) = 10(0.7b + 2) \\ 6(0.5b) = 6(\frac{1}{3}a + 10) \end{cases} $$$$ \begin{cases} 6a = 7b + 20 \\ 3b = 2a + 60 \end{cases} $$Приведем уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$:$$ \begin{cases} 6a - 7b = 20 \\ -2a + 3b = 60 \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Для этого умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при переменной $a$ стали противоположными:$3(-2a + 3b) = 3(60)$
$-6a + 9b = 180$

Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы ($6a - 7b = 20$):
$(6a - 7b) + (-6a + 9b) = 20 + 180$
$2b = 200$
$b = 100$

Подставим найденное значение $b = 100$ в одно из упрощенных уравнений, например, в $3b = 2a + 60$:
$3(100) = 2a + 60$
$300 = 2a + 60$
$300 - 60 = 2a$
$240 = 2a$
$a = 120$

Проверим найденные значения:

• 60% от 120: $0.6 \cdot 120 = 72$. 70% от 100: $0.7 \cdot 100 = 70$. $72$ больше $70$ на $2$, что соответствует первому условию.
• 50% от 100: $0.5 \cdot 100 = 50$. $\frac{1}{3}$ от 120: $\frac{1}{3} \cdot 120 = 40$. $50$ больше $40$ на $10$, что соответствует второму условию.

Все условия выполнены.

Ответ: $a=120, b=100$.