Номер 1312, страница 252 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1312, страница 252.

Условие.

1312. Известно, что 4 кг огурцов и 3 кг помидоров стоили 720 р. После того как огурцы подорожали на 50%, а помидоры подешевели на 20%, за 2 кг огурцов и 5 кг помидоров заплатили 750 р. Найдите первоначальную цену 1 кг огурцов и 1 кг помидоров.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные.

Пусть $x$ рублей — первоначальная цена 1 кг огурцов.

Пусть $y$ рублей — первоначальная цена 1 кг помидоров.

Исходя из первого условия, что 4 кг огурцов и 3 кг помидоров стоили 720 рублей, составим первое уравнение:

$4x + 3y = 720$

Далее, определим новые цены после их изменения.

Цена огурцов подорожала на 50%. Новая цена составила $100\% + 50\% = 150\%$ от первоначальной. Новая цена 1 кг огурцов:

$x \cdot (1 + \frac{50}{100}) = x \cdot 1.5 = 1.5x$

Цена помидоров подешевела на 20%. Новая цена составила $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначальной. Новая цена 1 кг помидоров:

$y \cdot (1 - \frac{20}{100}) = y \cdot 0.8 = 0.8y$

По второму условию, 2 кг огурцов и 5 кг помидоров по новым ценам стоили 750 рублей. Составим второе уравнение:

$2 \cdot (1.5x) + 5 \cdot (0.8y) = 750$

$3x + 4y = 750$

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$$ \begin{cases} 4x + 3y = 720 \\ 3x + 4y = 750 \end{cases} $$

Решим систему методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:

$4x = 720 - 3y$

$x = \frac{720 - 3y}{4}$

$x = 180 - 0.75y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$3(180 - 0.75y) + 4y = 750$

$540 - 2.25y + 4y = 750$

$1.75y = 750 - 540$

$1.75y = 210$

$y = \frac{210}{1.75} = \frac{21000}{175} = 120$

Итак, первоначальная цена 1 кг помидоров равна 120 рублям.

Теперь найдем первоначальную цену 1 кг огурцов, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 180 - 0.75 \cdot 120$

$x = 180 - 90$

$x = 90$

Итак, первоначальная цена 1 кг огурцов равна 90 рублям.

Ответ: первоначальная цена 1 кг огурцов — 90 рублей, первоначальная цена 1 кг помидоров — 120 рублей.