Номер 1317, страница 252 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1317, страница 252.

Условие.

1317. Известно, что 25% одного числа равно 20% другого числа, а $\frac{1}{6}$ первого числа на 4 меньше 40% другого. Найдите данные числа.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть первое искомое число будет $x$, а второе — $y$. Для решения задачи составим систему уравнений на основе данных условий.

Первое условие гласит, что 25% первого числа равны 20% другого. Представим проценты в виде десятичных дробей ($25\% = 0.25$, $20\% = 0.2$) и запишем первое уравнение:
$0.25x = 0.2y$

Второе условие говорит, что $\frac{1}{6}$ первого числа на 4 меньше 40% другого. Это означает, что если к $\frac{1}{6}x$ прибавить 4, получится $40\%$ от $y$ ($40\% = 0.4$). Запишем второе уравнение:
$\frac{1}{6}x + 4 = 0.4y$

Теперь у нас есть система двух уравнений с двумя переменными:
$0.25x = 0.2y$
$\frac{1}{6}x + 4 = 0.4y$

Решим эту систему. Из первого уравнения $0.25x = 0.2y$ выразим $x$. Для этого сначала умножим обе части на 100, чтобы избавиться от десятичных знаков: $25x = 20y$. Затем разделим обе части на 5: $5x = 4y$. Отсюда получаем $x = \frac{4}{5}y$, или $x = 0.8y$.

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:
$\frac{1}{6}(0.8y) + 4 = 0.4y$

Решим полученное уравнение относительно $y$. Для удобства заменим десятичные дроби на обыкновенные: $0.8 = \frac{4}{5}$ и $0.4 = \frac{2}{5}$.
$\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{5}y + 4 = \frac{2}{5}y$
$\frac{4}{30}y + 4 = \frac{2}{5}y$
Сократим дробь $\frac{4}{30}$ до $\frac{2}{15}$:
$\frac{2}{15}y + 4 = \frac{2}{5}y$
Перенесем слагаемые с $y$ в правую часть уравнения:
$4 = \frac{2}{5}y - \frac{2}{15}y$
Приведем дроби к общему знаменателю 15:
$4 = \frac{6}{15}y - \frac{2}{15}y$
$4 = \frac{4}{15}y$
Наконец, найдем $y$, умножив обе части на $\frac{15}{4}$:
$y = 4 \cdot \frac{15}{4} = 15$.

Мы нашли второе число, $y=15$. Теперь найдем первое число, используя ранее полученное соотношение $x = 0.8y$:
$x = 0.8 \cdot 15 = 12$.

Проведем проверку найденных чисел: $x=12$ и $y=15$.
1) $25\%$ от 12 это $0.25 \cdot 12 = 3$. $20\%$ от 15 это $0.2 \cdot 15 = 3$. Первое условие ($3=3$) выполняется.
2) $\frac{1}{6}$ от 12 это $\frac{1}{6} \cdot 12 = 2$. $40\%$ от 15 это $0.4 \cdot 15 = 6$. Число 2 на 4 меньше числа 6, так как $6-2=4$. Второе условие также выполняется.

Ответ: первое число — 12, второе число — 15.