Номер 1324, страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1324, страница 253.

Условие.

1324. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 45 км, одновременно навстречу друг другу отправились велосипедист и пешеход и встретились через 3 ч после начала движения. Если бы велосипедист выехал на 1 ч 15 мин раньше, чем вышел пешеход, то они встретились бы через 2 ч после выхода пешехода. С какой скоростью двигался каждый из них?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Обозначим скорость велосипедиста как $v_в$ (в км/ч), а скорость пешехода как $v_п$ (в км/ч).

1. Рассмотрим первую ситуацию:

Велосипедист и пешеход движутся навстречу друг другу. Их общая скорость сближения равна сумме их скоростей: $(v_в + v_п)$. Они встретились через 3 часа, преодолев вместе расстояние 45 км. Составим первое уравнение, используя формулу расстояния $S = v \cdot t$:

$(v_в + v_п) \cdot 3 = 45$

Разделив обе части на 3, получим:

$v_в + v_п = 15$

2. Рассмотрим вторую ситуацию:

Велосипедист выехал на 1 час 15 минут раньше пешехода. Переведем это время в часы: $1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 1 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{1}{4} \text{ ч} = 1.25$ часа.

Они встретились через 2 часа после выхода пешехода. Это означает, что пешеход был в пути 2 часа, а велосипедист был в пути $2 + 1.25 = 3.25$ часа.

За это время велосипедист проехал расстояние $v_в \cdot 3.25$ км, а пешеход прошел $v_п \cdot 2$ км. Сумма этих расстояний равна общему расстоянию между сёлами:

$3.25 \cdot v_в + 2 \cdot v_п = 45$

3. Решим систему уравнений:

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\{ \begin{array}{l} v_в + v_п = 15 \\ 3.25 v_в + 2 v_п = 45 \end{array} \}$

Из первого уравнения выразим $v_п$:

$v_п = 15 - v_в$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3.25 v_в + 2(15 - v_в) = 45$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $v_в$:

$3.25 v_в + 30 - 2v_в = 45$

$1.25 v_в = 45 - 30$

$1.25 v_в = 15$

$v_в = \frac{15}{1.25} = \frac{15}{5/4} = 15 \cdot \frac{4}{5} = 12$

Итак, скорость велосипедиста равна 12 км/ч. Теперь найдем скорость пешехода, подставив значение $v_в$ в первое, более простое уравнение:

$v_п = 15 - v_в = 15 - 12 = 3$

Скорость пешехода равна 3 км/ч.

Ответ: Скорость велосипедиста — 12 км/ч, скорость пешехода — 3 км/ч.