Номер 1320, страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1320, страница 253.

Условие.

1320. (Задача из греческого фольклора)

Осёл и мул идут рядом с грузом на спине. Осёл жалуется на непосильную ношу, а мул отвечает: «Чего ты жалуешься? Ведь если я возьму один твой мешок, то моя ноша станет в два раза тяжелее твоей. А если ты возьмёшь один мой мешок, то твоя поклажа сравнится с моей». Скажите же, мудрые математики, сколько мешков нёс осёл и сколько нёс мул.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений, исходя из условий, описанных в диалоге осла и мула. Предполагается, что все мешки имеют одинаковый вес.

Введение переменных

Пусть $x$ — это количество мешков, которое нёс осёл.

Пусть $y$ — это количество мешков, которое нёс мул.

Составление системы уравнений

Рассмотрим два условия, которые озвучил мул:

1. «Если я возьму один твой мешок, то моя ноша станет в два раза тяжелее твоей».

Если мул возьмет один мешок у осла, то у осла останется $x - 1$ мешков, а у мула станет $y + 1$ мешков. По условию, ноша мула станет в два раза тяжелее ноши осла. Составляем первое уравнение:

$y + 1 = 2(x - 1)$

2. «А если ты возьмёшь один мой мешок, то твоя поклажа сравнится с моей».

Если осёл возьмет один мешок у мула, то у осла станет $x + 1$ мешков, а у мула останется $y - 1$ мешков. По условию, их ноши станут равными. Составляем второе уравнение:

$x + 1 = y - 1$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} y + 1 = 2(x - 1) \\ x + 1 = y - 1 \end{cases} $

Решение системы уравнений

Упростим оба уравнения.

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = x + 1 + 1$

$y = x + 2$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$(x + 2) + 1 = 2(x - 1)$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$x + 3 = 2x - 2$

$3 + 2 = 2x - x$

$x = 5$

Итак, осёл нёс 5 мешков.

Теперь найдём $y$, подставив значение $x = 5$ в ранее полученное выражение $y = x + 2$:

$y = 5 + 2$

$y = 7$

Итак, мул нёс 7 мешков.

Проверка решения

Проверим, соответствуют ли найденные значения условиям задачи.

1. Мул забирает один мешок у осла. У осла остаётся $5 - 1 = 4$ мешка, у мула становится $7 + 1 = 8$ мешков. Действительно, ноша мула в два раза тяжелее ноши осла: $8 = 2 \times 4$. Первое условие выполняется.

2. Осёл забирает один мешок у мула. У осла становится $5 + 1 = 6$ мешков, у мула остаётся $7 - 1 = 6$ мешков. Их ноши равны: $6 = 6$. Второе условие также выполняется.

Оба условия соблюдены, следовательно, задача решена верно.

Ответ: осёл нёс 5 мешков, а мул нёс 7 мешков.