Номер 1326, страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1326, страница 253.

Условие.

1326. Велосипедист проехал из пункта А в пункт В за намеченное время, двигаясь с некоторой скоростью. Если бы он увеличил скорость на 3 км/ч, то прибыл бы в пункт В на 1 ч раньше, а если бы он проезжал за час на 2 км меньше, то прибыл бы на 1 ч позже. Найдите скорость велосипедиста.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v$ (в км/ч) — это первоначальная (запланированная) скорость велосипедиста, а $t$ (в часах) — запланированное время в пути. Расстояние $S$ от пункта А до пункта В можно выразить как произведение скорости на время: $S = v \cdot t$.

Рассмотрим первое условие: если бы велосипедист увеличил скорость на 3 км/ч, то его новая скорость была бы $(v + 3)$ км/ч. Он прибыл бы на 1 час раньше, то есть затратил бы $(t - 1)$ час. Расстояние $S$ осталось бы тем же, поэтому мы можем составить первое уравнение:

$S = (v + 3)(t - 1)$

Поскольку $S = vt$, мы можем приравнять правые части:

$vt = (v + 3)(t - 1)$

$vt = vt - v + 3t - 3$

$0 = -v + 3t - 3$

$v = 3t - 3$

Рассмотрим второе условие: если бы велосипедист проезжал за час на 2 км меньше, это означает, что его скорость уменьшилась бы на 2 км/ч и стала бы $(v - 2)$ км/ч. Он прибыл бы на 1 час позже, то есть его время в пути составило бы $(t + 1)$ час. Расстояние $S$ снова остается неизменным, что дает нам второе уравнение:

$S = (v - 2)(t + 1)$

Приравнивая к $S = vt$, получаем:

$vt = (v - 2)(t + 1)$

$vt = vt + v - 2t - 2$

$0 = v - 2t - 2$

$v = 2t + 2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v = 3t - 3 \\ v = 2t + 2 \end{cases}$

Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части, чтобы найти $t$:

$3t - 3 = 2t + 2$

$3t - 2t = 2 + 3$

$t = 5$

Запланированное время в пути составляет 5 часов. Теперь мы можем найти первоначальную скорость $v$, подставив значение $t$ в любое из полученных выражений для $v$. Возьмем второе:

$v = 2t + 2 = 2 \cdot 5 + 2 = 10 + 2 = 12$

Таким образом, первоначальная скорость велосипедиста равна 12 км/ч.

Проверка:
При скорости 12 км/ч и времени 5 ч, расстояние $S = 12 \cdot 5 = 60$ км.
1) Скорость $12+3=15$ км/ч, время $5-1=4$ ч. Расстояние $15 \cdot 4 = 60$ км. Верно.
2) Скорость $12-2=10$ км/ч, время $5+1=6$ ч. Расстояние $10 \cdot 6 = 60$ км. Верно.

Ответ: 12 км/ч.