Номер 1329, страница 254 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 31. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Глава 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными - номер 1329, страница 254.

Условие.

1329. Из города Солнечный в село Весёлое в 9 ч 5 мин и в 9 ч 45 мин выехали с одинаковой скоростью два автобуса. Из Весёлого в Солнечный в 9 ч 30 мин выехал велосипедист, который встретился с первым автобусом в 9 ч 45 мин, а со вторым – в 10 ч 15 мин. Найдите скорости автобусов и велосипедиста, если расстояние между Солнечным и Весёлым равно 36 км.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений, основанную на времени и месте встреч.

Пусть $v_a$ (км/ч) — скорость автобусов, а $v_в$ (км/ч) — скорость велосипедиста. Расстояние между городом Солнечный и селом Весёлое равно $S = 36$ км.

Для удобства расчетов переведем все временные интервалы в часы.

1. Встреча первого автобуса и велосипедиста.

Первый автобус выехал из Солнечного в 9:05, а встретился с велосипедистом в 9:45.
Время в пути первого автобуса до встречи: $t_{а1} = 9 \text{ ч } 45 \text{ мин} - 9 \text{ ч } 5 \text{ мин} = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.
За это время он проехал расстояние: $S_{а1} = v_a \cdot t_{а1} = v_a \cdot \frac{2}{3}$ км.

Велосипедист выехал из Весёлого в 9:30 и встретился с первым автобусом в 9:45.
Время в пути велосипедиста до первой встречи: $t_{в1} = 9 \text{ ч } 45 \text{ мин} - 9 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$.
За это время он проехал расстояние: $S_{в1} = v_в \cdot t_{в1} = v_в \cdot \frac{1}{4}$ км.

Поскольку они двигались навстречу друг другу из разных пунктов, суммарное пройденное ими расстояние равно расстоянию между пунктами. Составим первое уравнение:
$S_{а1} + S_{в1} = 36$
$\frac{2}{3}v_a + \frac{1}{4}v_в = 36$

2. Встреча второго автобуса и велосипедиста.

Второй автобус выехал из Солнечного в 9:45, а встретился с велосипедистом в 10:15.
Время в пути второго автобуса до встречи: $t_{а2} = 10 \text{ ч } 15 \text{ мин} - 9 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = \frac{1}{2} \text{ ч}$.
За это время он проехал расстояние: $S_{а2} = v_a \cdot t_{а2} = v_a \cdot \frac{1}{2}$ км.

Велосипедист выехал из Весёлого в 9:30 и встретился со вторым автобусом в 10:15.
Время в пути велосипедиста до второй встречи: $t_{в2} = 10 \text{ ч } 15 \text{ мин} - 9 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч}$.
За это время он проехал расстояние: $S_{в2} = v_в \cdot t_{в2} = v_в \cdot \frac{3}{4}$ км.

Аналогично первой встрече, суммарное расстояние равно 36 км. Составим второе уравнение:
$S_{а2} + S_{в2} = 36$
$\frac{1}{2}v_a + \frac{3}{4}v_в = 36$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} \frac{2}{3}v_a + \frac{1}{4}v_в = 36 \\ \frac{1}{2}v_a + \frac{3}{4}v_в = 36 \end{cases} $

Для удобства избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 12 (наименьшее общее кратное для 3 и 4), а второе — на 4.
$12 \cdot (\frac{2}{3}v_a + \frac{1}{4}v_в) = 12 \cdot 36 \implies 8v_a + 3v_в = 432$
$4 \cdot (\frac{1}{2}v_a + \frac{3}{4}v_в) = 4 \cdot 36 \implies 2v_a + 3v_в = 144$

Получим новую систему:
$ \begin{cases} 8v_a + 3v_в = 432 \\ 2v_a + 3v_в = 144 \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого:
$(8v_a + 3v_в) - (2v_a + 3v_в) = 432 - 144$
$6v_a = 288$
$v_a = \frac{288}{6}$
$v_a = 48$ (км/ч)

Теперь подставим найденное значение $v_a = 48$ во второе уравнение $2v_a + 3v_в = 144$:
$2 \cdot 48 + 3v_в = 144$
$96 + 3v_в = 144$
$3v_в = 144 - 96$
$3v_в = 48$
$v_в = \frac{48}{3}$
$v_в = 16$ (км/ч)

Ответ: скорость автобусов — 48 км/ч, скорость велосипедиста — 16 км/ч.