Страница 254 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1328. Автобус и маршрутное такси выезжают ежедневно навстречу друг другу по расписанию в 8 ч из городов Вишнёвое и Яблоневое, расстояние между которыми 18 км, и встречаются в 8 ч 10 мин. Однажды автобус выехал по расписанию, а такси – с опозданием: в 8 ч 9 мин. Поэтому в тот день они встретились в 8 ч 15 мин. Найдите скорости автобуса и маршрутного такси.

Пусть $v_а$ — скорость автобуса в км/ч, а $v_т$ — скорость маршрутного такси в км/ч. Расстояние между городами, которое они должны преодолеть вместе, составляет $S = 18$ км.

Ситуация 1: Обычный день

Автобус и маршрутное такси выезжают одновременно в 8:00 и встречаются в 8:10. Следовательно, время в пути до встречи для обоих составляет 10 минут.

Переведём время в часы: $t_1 = 10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}$.

За это время они вместе проезжают всё расстояние. Скорость их сближения равна сумме их скоростей $(v_а + v_т)$. Используя формулу $S = v \cdot t$, получаем первое уравнение:

$(v_а + v_т) \cdot t_1 = S$

$(v_а + v_т) \cdot \frac{1}{6} = 18$

$v_а + v_т = 18 \cdot 6$

$v_а + v_т = 108$

Ситуация 2: Такси опоздало

Автобус выехал в 8:00, а такси — в 8:09. Они встретились в 8:15.

Время в пути для автобуса: $t_а = 8:15 - 8:00 = 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$.

Время в пути для такси: $t_т = 8:15 - 8:09 = 6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = \frac{1}{10} \text{ ч}$.

Расстояние, которое проехал автобус, равно $S_а = v_а \cdot t_а = \frac{1}{4} v_а$.

Расстояние, которое проехало такси, равно $S_т = v_т \cdot t_т = \frac{1}{10} v_т$.

Сумма этих расстояний равна общему расстоянию между городами. Составим второе уравнение:

$S_а + S_т = S$

$\frac{1}{4} v_а + \frac{1}{10} v_т = 18$

Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_а + v_т = 108 \\ \frac{1}{4} v_а + \frac{1}{10} v_т = 18 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_а$:

$v_а = 108 - v_т$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{1}{4}(108 - v_т) + \frac{1}{10} v_т = 18$

Для удобства вычислений умножим всё уравнение на 20 (наименьшее общее кратное для 4 и 10):

$20 \cdot \frac{1}{4}(108 - v_т) + 20 \cdot \frac{1}{10} v_т = 18 \cdot 20$

$5(108 - v_т) + 2v_т = 360$

$540 - 5v_т + 2v_т = 360$

$540 - 3v_т = 360$

$3v_т = 540 - 360$

$3v_т = 180$

$v_т = 60$ (км/ч)

Теперь найдём скорость автобуса, подставив найденное значение $v_т$ в выражение для $v_а$:

$v_а = 108 - 60 = 48$ (км/ч)

Ответ: скорость автобуса — 48 км/ч, скорость маршрутного такси — 60 км/ч.

1329. Из города Солнечный в село Весёлое в 9 ч 5 мин и в 9 ч 45 мин выехали с одинаковой скоростью два автобуса. Из Весёлого в Солнечный в 9 ч 30 мин выехал велосипедист, который встретился с первым автобусом в 9 ч 45 мин, а со вторым – в 10 ч 15 мин. Найдите скорости автобусов и велосипедиста, если расстояние между Солнечным и Весёлым равно 36 км.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений, основанную на времени и месте встреч.

Пусть $v_a$ (км/ч) — скорость автобусов, а $v_в$ (км/ч) — скорость велосипедиста. Расстояние между городом Солнечный и селом Весёлое равно $S = 36$ км.

Для удобства расчетов переведем все временные интервалы в часы.

1. Встреча первого автобуса и велосипедиста.

Первый автобус выехал из Солнечного в 9:05, а встретился с велосипедистом в 9:45.
Время в пути первого автобуса до встречи: $t_{а1} = 9 \text{ ч } 45 \text{ мин} - 9 \text{ ч } 5 \text{ мин} = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.
За это время он проехал расстояние: $S_{а1} = v_a \cdot t_{а1} = v_a \cdot \frac{2}{3}$ км.

Велосипедист выехал из Весёлого в 9:30 и встретился с первым автобусом в 9:45.
Время в пути велосипедиста до первой встречи: $t_{в1} = 9 \text{ ч } 45 \text{ мин} - 9 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$.
За это время он проехал расстояние: $S_{в1} = v_в \cdot t_{в1} = v_в \cdot \frac{1}{4}$ км.

Поскольку они двигались навстречу друг другу из разных пунктов, суммарное пройденное ими расстояние равно расстоянию между пунктами. Составим первое уравнение:
$S_{а1} + S_{в1} = 36$
$\frac{2}{3}v_a + \frac{1}{4}v_в = 36$

2. Встреча второго автобуса и велосипедиста.

Второй автобус выехал из Солнечного в 9:45, а встретился с велосипедистом в 10:15.
Время в пути второго автобуса до встречи: $t_{а2} = 10 \text{ ч } 15 \text{ мин} - 9 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = \frac{1}{2} \text{ ч}$.
За это время он проехал расстояние: $S_{а2} = v_a \cdot t_{а2} = v_a \cdot \frac{1}{2}$ км.

Велосипедист выехал из Весёлого в 9:30 и встретился со вторым автобусом в 10:15.
Время в пути велосипедиста до второй встречи: $t_{в2} = 10 \text{ ч } 15 \text{ мин} - 9 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч}$.
За это время он проехал расстояние: $S_{в2} = v_в \cdot t_{в2} = v_в \cdot \frac{3}{4}$ км.

Аналогично первой встрече, суммарное расстояние равно 36 км. Составим второе уравнение:
$S_{а2} + S_{в2} = 36$
$\frac{1}{2}v_a + \frac{3}{4}v_в = 36$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} \frac{2}{3}v_a + \frac{1}{4}v_в = 36 \\ \frac{1}{2}v_a + \frac{3}{4}v_в = 36 \end{cases} $

Для удобства избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на 12 (наименьшее общее кратное для 3 и 4), а второе — на 4.
$12 \cdot (\frac{2}{3}v_a + \frac{1}{4}v_в) = 12 \cdot 36 \implies 8v_a + 3v_в = 432$
$4 \cdot (\frac{1}{2}v_a + \frac{3}{4}v_в) = 4 \cdot 36 \implies 2v_a + 3v_в = 144$

Получим новую систему:
$ \begin{cases} 8v_a + 3v_в = 432 \\ 2v_a + 3v_в = 144 \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого:
$(8v_a + 3v_в) - (2v_a + 3v_в) = 432 - 144$
$6v_a = 288$
$v_a = \frac{288}{6}$
$v_a = 48$ (км/ч)

Теперь подставим найденное значение $v_a = 48$ во второе уравнение $2v_a + 3v_в = 144$:
$2 \cdot 48 + 3v_в = 144$
$96 + 3v_в = 144$
$3v_в = 144 - 96$
$3v_в = 48$
$v_в = \frac{48}{3}$
$v_в = 16$ (км/ч)

Ответ: скорость автобусов — 48 км/ч, скорость велосипедиста — 16 км/ч.

1330. Масса смеси, состоящей из двух веществ, составляла 800 г. После того как из неё выделили $\frac{5}{8}$ первого вещества и 60% второго, в смеси осталось первого вещества на 72 г меньше, чем второго. Сколько граммов каждого вещества было в смеси сначала?

Пусть масса первого вещества в смеси изначально составляла x граммов, а масса второго вещества — y граммов.

Поскольку общая масса смеси составляла 800 г, мы можем составить первое уравнение:
$x + y = 800$

Из смеси выделили $\frac{5}{8}$ первого вещества. Следовательно, в смеси осталась часть первого вещества, равная:
$1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$
Масса оставшегося первого вещества составляет $\frac{3}{8}x$ г.

Из смеси выделили 60% второго вещества. Это означает, что в смеси осталась часть второго вещества, равная:
$100\% - 60\% = 40\%$
Масса оставшегося второго вещества составляет $0,4y$ г.

Согласно условию, после выделения части веществ, масса первого вещества оказалась на 72 г меньше массы второго. На основе этого составим второе уравнение:
$0,4y - \frac{3}{8}x = 72$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} x + y = 800 \\ 0,4y - \frac{3}{8}x = 72 \end{cases}$

Выразим переменную y из первого уравнения:
$y = 800 - x$

Подставим полученное выражение для y во второе уравнение:
$0,4(800 - x) - \frac{3}{8}x = 72$

Теперь решим это уравнение относительно x. Для удобства вычислений представим $0,4$ как обыкновенную дробь $\frac{2}{5}$.
$\frac{2}{5}(800 - x) - \frac{3}{8}x = 72$
Раскроем скобки:
$\frac{2}{5} \cdot 800 - \frac{2}{5}x - \frac{3}{8}x = 72$
$320 - \frac{2}{5}x - \frac{3}{8}x = 72$
Сгруппируем члены с x и перенесем 320 в правую часть уравнения:
$-\frac{2}{5}x - \frac{3}{8}x = 72 - 320$
$-(\frac{2}{5} + \frac{3}{8})x = -248$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 40:
$-(\frac{16}{40} + \frac{15}{40})x = -248$
$-\frac{31}{40}x = -248$
Умножим обе части уравнения на -1:
$\frac{31}{40}x = 248$
Найдем x:
$x = 248 : \frac{31}{40} = 248 \cdot \frac{40}{31}$
$x = \frac{248 \cdot 40}{31} = 8 \cdot 40 = 320$
Следовательно, начальная масса первого вещества составляла 320 г.

Теперь найдем начальную массу второго вещества, подставив значение x в первое уравнение:
$y = 800 - x = 800 - 320 = 480$
Начальная масса второго вещества составляла 480 г.

Проверка:
Масса первого вещества, оставшаяся в смеси: $\frac{3}{8} \cdot 320 \text{ г} = 3 \cdot 40 \text{ г} = 120$ г.
Масса второго вещества, оставшаяся в смеси: $0,4 \cdot 480 \text{ г} = 192$ г.
Разница масс: $192 \text{ г} - 120 \text{ г} = 72$ г.
Условие задачи выполнено.

Ответ: изначально в смеси было 320 г первого вещества и 480 г второго вещества.

1331. В куске сплава меди и цинка последнего было на 48 кг меньше, чем меди. После того как из сплава выделили $\frac{8}{9}$ содержавшейся в нём меди и 80% цинка, масса сплава стала равной 10 кг. Сколько килограммов каждого вещества было в сплаве первоначально?

Пусть первоначальная масса меди в сплаве была $m$ кг, а первоначальная масса цинка — $z$ кг.

Из условия задачи известно, что цинка было на 48 кг меньше, чем меди. Это можно записать в виде первого уравнения:

$z = m - 48$

Из сплава выделили $\frac{8}{9}$ содержавшейся в нём меди. Следовательно, в сплаве осталась $1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$ часть меди, то есть её масса составила $\frac{1}{9}m$ кг.

Также из сплава выделили 80% цинка. Это означает, что в сплаве осталось $100\% - 80\% = 20\%$ цинка. Выражая в долях, это $0,2$. Масса оставшегося цинка равна $0,2z$ кг.

Масса сплава после выделения металлов стала равной 10 кг. Это сумма масс оставшихся меди и цинка. Составим второе уравнение:

$\frac{1}{9}m + 0,2z = 10$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} z = m - 48 \\ \frac{1}{9}m + 0,2z = 10 \end{cases}$

Подставим выражение для $z$ из первого уравнения во второе, чтобы найти $m$:

$\frac{1}{9}m + 0,2(m - 48) = 10$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$\frac{1}{9}m + 0,2m - 9,6 = 10$

$\frac{1}{9}m + \frac{1}{5}m = 10 + 9,6$

$\frac{1}{9}m + \frac{1}{5}m = 19,6$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю 45:

$\frac{5}{45}m + \frac{9}{45}m = 19,6$

$\frac{14}{45}m = 19,6$

Теперь выразим $m$:

$m = 19,6 \div \frac{14}{45} = 19,6 \cdot \frac{45}{14}$

$m = \frac{19,6}{14} \cdot 45 = 1,4 \cdot 45 = 63$

Таким образом, первоначальная масса меди в сплаве составляла 63 кг.

Теперь найдем первоначальную массу цинка, используя первое уравнение:

$z = m - 48 = 63 - 48 = 15$

Первоначальная масса цинка в сплаве составляла 15 кг.

Ответ: первоначально в сплаве было 63 кг меди и 15 кг цинка.

1332. Сумма цифр двузначного числа равна 9, причём цифра в разряде десятков больше цифры в разряде единиц. При делении данного числа на разность его цифр получили неполное частное 14 и остаток 2. Найдите данное число.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра в разряде десятков, а $b$ — это цифра в разряде единиц. По определению, $a$ и $b$ являются целыми числами от 0 до 9, причем $a \neq 0$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

1. Сумма цифр равна 9. Это дает нам первое уравнение:
$a + b = 9$.

2. Цифра в разряде десятков больше цифры в разряде единиц. Это дает нам неравенство:
$a > b$.

3. При делении данного числа ($10a + b$) на разность его цифр ($a - b$, так как $a > b$) получили неполное частное 14 и остаток 2. Это можно записать в виде уравнения деления с остатком:
$10a + b = 14 \cdot (a - b) + 2$.

Теперь приступим к решению. Сначала упростим третье уравнение:

$10a + b = 14a - 14b + 2$

Перенесем члены с переменными в одну сторону, а свободные члены в другую:

$14b + b = 14a - 10a + 2$

$15b = 4a + 2$

Запишем это уравнение в стандартном виде:

$4a - 15b = -2$

Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} a + b = 9 \\ 4a - 15b = -2 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим переменную $a$ через $b$:

$a = 9 - b$

Подставим это выражение для $a$ во второе уравнение системы:

$4(9 - b) - 15b = -2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $b$:

$36 - 4b - 15b = -2$

$36 - 19b = -2$

$-19b = -2 - 36$

$-19b = -38$

$b = \frac{-38}{-19} = 2$

Теперь, зная значение $b$, найдем $a$:

$a = 9 - b = 9 - 2 = 7$

Итак, мы нашли цифры: цифра десятков $a = 7$, цифра единиц $b = 2$. Следовательно, искомое число — 72.

Проверим, удовлетворяет ли найденное число всем условиям задачи:

1. Сумма цифр: $7 + 2 = 9$. (Верно)

2. Цифра десятков больше цифры единиц: $7 > 2$. (Верно)

3. Деление с остатком: разность цифр равна $7 - 2 = 5$. При делении 72 на 5 получаем $72 = 14 \cdot 5 + 2$. Неполное частное равно 14, остаток равен 2. (Верно)

Все условия выполнены.

Ответ: 72.

1333. Разность цифр двузначного числа равна 6, причём цифра в разряде десятков меньше цифры в разряде единиц. Если же разделить данное число на сумму его цифр, то получим неполное частное 3 и остаток 3. Найдите данное число.

Обозначим цифру в разряде десятков искомого двузначного числа через $x$, а цифру в разряде единиц — через $y$. В этом случае само число можно записать в виде выражения $10x + y$.

Согласно первому условию, разность цифр равна 6, причём цифра в разряде десятков меньше цифры в разряде единиц. Составим первое уравнение:

$y - x = 6$

Из этого уравнения можно выразить $y$:

$y = x + 6$

Согласно второму условию, если разделить данное число ($10x + y$) на сумму его цифр ($x + y$), то неполное частное будет равно 3, а остаток — 3. Используя формулу деления с остатком (Делимое = Делитель × Частное + Остаток), составим второе уравнение:

$10x + y = 3 \cdot (x + y) + 3$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} y = x + 6 \\ 10x + y = 3(x + y) + 3 \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$10x + (x + 6) = 3(x + (x + 6)) + 3$

Теперь решим полученное уравнение:

$11x + 6 = 3(2x + 6) + 3$
$11x + 6 = 6x + 18 + 3$
$11x + 6 = 6x + 21$
$11x - 6x = 21 - 6$
$5x = 15$
$x = \frac{15}{5}$
$x = 3$

Мы нашли цифру десятков, она равна 3. Теперь найдем цифру единиц:

$y = x + 6 = 3 + 6 = 9$

Таким образом, искомое число состоит из цифр 3 и 9. Цифра десятков — 3, цифра единиц — 9. Само число — 39.

Проверим найденное число.

1. Разность цифр: $9 - 3 = 6$. Цифра десятков (3) меньше цифры единиц (9). Условие выполняется.

2. Сумма цифр: $3 + 9 = 12$. Деление числа на сумму цифр: $39 \div 12 = 3$ и остаток $3$ ($3 \cdot 12 + 3 = 36 + 3 = 39$). Условие выполняется.

Ответ: 39.

1334. В одном баке было 12 л воды, а в другом – 32 л. Если первый бак долить доверху водой из второго бака, то второй бак останется наполненным на половину своего объёма. Если второй бак долить доверху водой из первого, то первый бак останется наполненным на шестую часть своего объёма. Найдите объём каждого бака.

Пусть $V_1$ — объём первого бака в литрах, а $V_2$ — объём второго бака в литрах.

1. Составление уравнения на основе первого условия.
В первом баке находится 12 л воды. Чтобы долить его доверху, необходимо долить $V_1 - 12$ л воды. Эту воду берут из второго бака, в котором было 32 л. После переливания во втором баке останется $32 - (V_1 - 12)$ л воды. Согласно условию, этот остаток составляет половину объёма второго бака, то есть $\frac{1}{2}V_2$.
Составим первое уравнение:
$32 - (V_1 - 12) = \frac{1}{2}V_2$
$32 - V_1 + 12 = \frac{1}{2}V_2$
$44 - V_1 = \frac{1}{2}V_2$

2. Составление уравнения на основе второго условия.
Во втором баке находится 32 л воды. Чтобы долить его доверху, необходимо долить $V_2 - 32$ л воды. Эту воду берут из первого бака, в котором было 12 л. После переливания в первом баке останется $12 - (V_2 - 32)$ л воды. Согласно условию, этот остаток составляет шестую часть объёма первого бака, то есть $\frac{1}{6}V_1$.
Составим второе уравнение:
$12 - (V_2 - 32) = \frac{1}{6}V_1$
$12 - V_2 + 32 = \frac{1}{6}V_1$
$44 - V_2 = \frac{1}{6}V_1$

3. Решение системы уравнений.
Мы получили систему из двух уравнений:
$\begin{cases} 44 - V_1 = \frac{1}{2}V_2 \\ 44 - V_2 = \frac{1}{6}V_1 \end{cases}$
Выразим $V_2$ из первого уравнения:
$V_2 = 2(44 - V_1) = 88 - 2V_1$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$44 - (88 - 2V_1) = \frac{1}{6}V_1$
$44 - 88 + 2V_1 = \frac{1}{6}V_1$
$-44 + 2V_1 = \frac{1}{6}V_1$
Перенесем слагаемые с $V_1$ в одну сторону, а числовое значение в другую:
$2V_1 - \frac{1}{6}V_1 = 44$
$\frac{12V_1 - V_1}{6} = 44$
$\frac{11V_1}{6} = 44$
$V_1 = \frac{44 \cdot 6}{11}$
$V_1 = 4 \cdot 6 = 24$ (л)
Теперь найдем объём второго бака, подставив значение $V_1$ в выражение для $V_2$:
$V_2 = 88 - 2V_1 = 88 - 2 \cdot 24 = 88 - 48 = 40$ (л)

Ответ: объём первого бака — 24 л, объём второго бака — 40 л.

1335. В двух бочках ёмкостью 40 л и 60 л было некоторое количество воды. Если в меньшую бочку долить доверху воды из большей, то в большей останется $\frac{5}{7}$ количества воды, которое было в ней сначала. Если в большую бочку долить доверху воды из меньшей, то в меньшей останется $\frac{5}{14}$ количества воды, которое было в ней сначала. Сколько литров воды было в каждой бочке сначала?

Для решения этой задачи введем переменные, чтобы описать начальное количество воды в каждой бочке, а затем составим систему уравнений на основе предоставленных условий.

Пусть $x$ — это начальное количество литров воды в меньшей бочке (ёмкостью 40 л).

Пусть $y$ — это начальное количество литров воды в большей бочке (ёмкостью 60 л).

Теперь рассмотрим каждое условие и переведем его в математическое уравнение.

1. Первое условие: «Если в меньшую бочку долить доверху воды из большей, то в большей останется $\frac{5}{7}$ количества воды, которое было в ней сначала».

Меньшей бочке, в которой находится $x$ литров, для полного заполнения до 40 л не хватает $40 - x$ литров. Это количество воды переливают из большей бочки. Изначально в большей бочке было $y$ литров. После переливания в ней останется $y - (40 - x)$ литров. Согласно условию, это количество составляет $\frac{5}{7}$ от первоначального объёма $y$.

Составляем первое уравнение:

$y - (40 - x) = \frac{5}{7}y$

Упростим это уравнение:

$y - 40 + x = \frac{5}{7}y$

$x + y - \frac{5}{7}y = 40$

$x + \frac{2}{7}y = 40$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 7:

$7x + 2y = 280$

2. Второе условие: «Если в большую бочку долить доверху воды из меньшей, то в меньшей останется $\frac{5}{14}$ количества воды, которое было в ней сначала».

Большой бочке, в которой находится $y$ литров, для полного заполнения до 60 л не хватает $60 - y$ литров. Это количество воды переливают из меньшей бочки, где изначально было $x$ литров. После переливания в меньшей бочке останется $x - (60 - y)$ литров. Согласно условию, это количество составляет $\frac{5}{14}$ от первоначального объёма $x$.

Составляем второе уравнение:

$x - (60 - y) = \frac{5}{14}x$

Упростим это уравнение:

$x - 60 + y = \frac{5}{14}x$

$y + x - \frac{5}{14}x = 60$

$y + \frac{9}{14}x = 60$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 14:

$14y + 9x = 840$

3. Решение системы уравнений.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 7x + 2y = 280 \\ 9x + 14y = 840 \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки или сложения. Удобнее использовать метод сложения, предварительно умножив первое уравнение на 7, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными по знаку (или равными).

Умножим первое уравнение на 7:

$7 \cdot (7x + 2y) = 7 \cdot 280$

$49x + 14y = 1960$

Теперь вычтем второе уравнение ($9x + 14y = 840$) из полученного нами нового уравнения:

$(49x + 14y) - (9x + 14y) = 1960 - 840$

$40x = 1120$

$x = \frac{1120}{40} = 28$

Мы нашли, что в меньшей бочке было 28 литров воды. Теперь найдем количество воды в большей бочке, подставив значение $x=28$ в любое из уравнений. Возьмем первое: $7x + 2y = 280$.

$7(28) + 2y = 280$

$196 + 2y = 280$

$2y = 280 - 196$

$2y = 84$

$y = \frac{84}{2} = 42$

Таким образом, в большей бочке было 42 литра воды.

Проверим полученные результаты.В меньшей бочке 28 л, в большей 42 л.1. Доливаем в меньшую бочку доверху: $40 - 28 = 12$ л. Берем из большей: $42 - 12 = 30$ л. Проверяем остаток: $\frac{5}{7} \cdot 42 = 5 \cdot 6 = 30$ л. Условие выполнено.2. Доливаем в большую бочку доверху: $60 - 42 = 18$ л. Берем из меньшей: $28 - 18 = 10$ л. Проверяем остаток: $\frac{5}{14} \cdot 28 = 5 \cdot 2 = 10$ л. Условие выполнено.Все условия задачи соблюдены.

Ответ: В меньшей бочке (ёмкостью 40 л) было 28 литров воды, а в большей бочке (ёмкостью 60 л) было 42 литра воды.