Страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1370. Докажите тождество:

1) $-0.2x^3(2.5x - 4)(6 - x^2) = 0.5x^6 - 0.8x^5 - 3x^4 + 4.8x^3;$

2) $(a-2)(a^2+3a-18) = (a-3)(a^2+4a-12).$

1) Для доказательства тождества $-0,2x^3(2,5x - 4)(6 - x^2) = 0,5x^6 - 0,8x^5 - 3x^4 + 4,8x^3$ необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой части.
Выполним преобразование левой части по шагам. Сначала перемножим выражения в скобках:
$(2,5x - 4)(6 - x^2) = 2,5x \cdot 6 + 2,5x \cdot (-x^2) - 4 \cdot 6 - 4 \cdot (-x^2) = 15x - 2,5x^3 - 24 + 4x^2$.
Расположим члены полученного многочлена в порядке убывания степеней переменной $x$:
$-2,5x^3 + 4x^2 + 15x - 24$.
Теперь умножим этот многочлен на одночлен $-0,2x^3$:
$-0,2x^3(-2,5x^3 + 4x^2 + 15x - 24) = (-0,2x^3)(-2,5x^3) + (-0,2x^3)(4x^2) + (-0,2x^3)(15x) + (-0,2x^3)(-24)$.
Вычислим каждое слагаемое:
$(-0,2)(-2,5)x^{3+3} = 0,5x^6$
$(-0,2)(4)x^{3+2} = -0,8x^5$
$(-0,2)(15)x^{3+1} = -3x^4$
$(-0,2)(-24)x^3 = 4,8x^3$
Собрав все вместе, получаем выражение для левой части:
$0,5x^6 - 0,8x^5 - 3x^4 + 4,8x^3$.
Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $(a - 2)(a^2 + 3a - 18) = (a - 3)(a^2 + 4a - 12)$ преобразуем обе его части, раскрыв скобки, и сравним полученные выражения.
Преобразуем левую часть (ЛЧ):
$ЛЧ = (a - 2)(a^2 + 3a - 18) = a(a^2 + 3a - 18) - 2(a^2 + 3a - 18) = a^3 + 3a^2 - 18a - 2a^2 - 6a + 36$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (3a^2 - 2a^2) + (-18a - 6a) + 36 = a^3 + a^2 - 24a + 36$.
Теперь преобразуем правую часть (ПЧ):
$ПЧ = (a - 3)(a^2 + 4a - 12) = a(a^2 + 4a - 12) - 3(a^2 + 4a - 12) = a^3 + 4a^2 - 12a - 3a^2 - 12a + 36$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (4a^2 - 3a^2) + (-12a - 12a) + 36 = a^3 + a^2 - 24a + 36$.
В результате преобразований мы получили, что и левая, и правая части равны одному и тому же выражению: $a^3 + a^2 - 24a + 36$.
Так как $ЛЧ = ПЧ$, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

1371. Какое число нужно подставить вместо $a$, чтобы равенство $(5x+a)(x-2)=5x^2-7x-2a$ было тождеством?

Чтобы данное равенство было тождеством, выражения в левой и правой частях должны быть тождественно равны для любого значения переменной x. Для этого мы сначала раскроем скобки в левой части равенства, а затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях.

Исходное равенство:

$(5x + a)(x - 2) = 5x^2 - 7x - 2a$

1. Раскроем скобки в левой части.

Используем правило умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):

$(5x + a)(x - 2) = 5x \cdot x + 5x \cdot (-2) + a \cdot x + a \cdot (-2)$

Выполним умножение:

$5x^2 - 10x + ax - 2a$

Сгруппируем слагаемые с переменной x, вынеся x за скобки:

$5x^2 + (a - 10)x - 2a$

2. Приравняем полученное выражение к правой части.

Теперь наше тождество выглядит так:

$5x^2 + (a - 10)x - 2a = 5x^2 - 7x - 2a$

3. Сравним коэффициенты.

Два многочлена тождественно равны, если равны их коэффициенты при соответствующих степенях переменной.

• Коэффициент при $x^2$: $5 = 5$. Это равенство выполняется.
• Коэффициент при $x$: $(a - 10) = -7$. Из этого равенства можно найти a.
• Свободный член (коэффициент при $x^0$): $-2a = -2a$. Это равенство выполняется при любом a.

4. Найдем значение a.

Решим уравнение, полученное из сравнения коэффициентов при x:

$a - 10 = -7$

Прибавим 10 к обеим частям уравнения:

$a = -7 + 10$

$a = 3$

Следовательно, при $a=3$ исходное равенство становится тождеством.

Ответ: 3

1372. Какое число нужно подставить вместо $b$, чтобы равенство $(3x + b)(x + 3) = 3x^2 + 5x + 3b$ было тождеством?

Чтобы данное равенство было тождеством, выражения в левой и правой частях должны быть равны для любого значения переменной $x$. Для этого необходимо, чтобы многочлен в левой части был равен многочлену в правой.

Рассмотрим исходное равенство:
$(3x + b)(x + 3) = 3x^2 + 5x + 3b$

Раскроем скобки в левой части уравнения, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$(3x + b)(x + 3) = 3x \cdot x + 3x \cdot 3 + b \cdot x + b \cdot 3 = 3x^2 + 9x + bx + 3b$

Приведем подобные слагаемые в левой части, сгруппировав члены с $x$:
$3x^2 + (9x + bx) + 3b = 3x^2 + (9 + b)x + 3b$

Теперь наше тождество выглядит так:
$3x^2 + (9 + b)x + 3b = 3x^2 + 5x + 3b$

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Сравним коэффициенты:

• При $x^2$: $3 = 3$. Равенство выполняется.
• При $x$: $9 + b = 5$.
• Свободные члены (коэффициенты при $x^0$): $3b = 3b$. Равенство выполняется.

Из сравнения коэффициентов при $x$ получаем уравнение для нахождения $b$:
$9 + b = 5$

Решим это уравнение:
$b = 5 - 9$
$b = -4$

Следовательно, при $b = -4$ исходное равенство становится тождеством.
Ответ: -4

1373. Разложите на множители:

1) $\frac{1}{2}a^6 - \frac{1}{4}a^2b$;

2) $5m^2n^3k^4 + 35m^4n^3k^2$;

3) $x^3y^2z^5 - 2xy^5z^3 + 3x^2y^3z$;

4) $a^{2n}b^{3n} - a^nb^{4n}$, где $n$ – натуральное число.

Чтобы разложить на множители выражение $\frac{1}{2}a^6 - \frac{1}{4}a^2b$, нужно найти общий множитель и вынести его за скобки.
1. Найдём наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{4}$. Общим множителем является $\frac{1}{4}$.
2. Найдём общий множитель для переменных. В выражении есть $a^6$ и $a^2$. Выносим переменную с наименьшим показателем степени, то есть $a^2$. Переменная $b$ присутствует только во втором слагаемом, поэтому она не является общим множителем.
3. Итак, общий множитель для всего выражения — это $\frac{1}{4}a^2$.
4. Вынесем общий множитель за скобки. Для этого разделим каждый член исходного выражения на $\frac{1}{4}a^2$:
$\frac{1}{2}a^6 : (\frac{1}{4}a^2) = (\frac{1}{2} \cdot 4) \cdot a^{6-2} = 2a^4$
$-\frac{1}{4}a^2b : (\frac{1}{4}a^2) = -b$
В результате получаем выражение в скобках: $(2a^4 - b)$.
Итоговое разложение: $\frac{1}{4}a^2(2a^4 - b)$.

Ответ: $\frac{1}{4}a^2(2a^4 - b)$

В выражении $5m^2n^3k^4 + 35m^4n^3k^2$ ищем общий множитель.
1. НОД для коэффициентов 5 и 35 равен 5.
2. Определяем общие переменные с наименьшими степенями:

• для $m$: степени $m^2$ и $m^4$, наименьшая $m^2$;
• для $n$: степени $n^3$ и $n^3$, наименьшая $n^3$;
• для $k$: степени $k^4$ и $k^2$, наименьшая $k^2$.

3. Общий множитель: $5m^2n^3k^2$.
4. Выносим его за скобки, разделив каждый член на этот множитель:
$5m^2n^3k^2(\frac{5m^2n^3k^4}{5m^2n^3k^2} + \frac{35m^4n^3k^2}{5m^2n^3k^2}) = 5m^2n^3k^2(k^{4-2} + 7m^{4-2}) = 5m^2n^3k^2(k^2 + 7m^2)$.

Ответ: $5m^2n^3k^2(k^2 + 7m^2)$

Рассмотрим многочлен $x^3y^2z^5 - 2xy^5z^3 + 3x^2y^3z$.
1. НОД коэффициентов 1, -2, 3 равен 1.
2. Определяем общие переменные с наименьшими степенями:

• для $x$: степени $x^3$, $x^1$, $x^2$, наименьшая $x$;
• для $y$: степени $y^2$, $y^5$, $y^3$, наименьшая $y^2$;
• для $z$: степени $z^5$, $z^3$, $z^1$, наименьшая $z$.

3. Общий множитель: $xy^2z$.
4. Выносим его за скобки:
$xy^2z(\frac{x^3y^2z^5}{xy^2z} - \frac{2xy^5z^3}{xy^2z} + \frac{3x^2y^3z}{xy^2z}) = xy^2z(x^{3-1}y^{2-2}z^{5-1} - 2x^{1-1}y^{5-2}z^{3-1} + 3x^{2-1}y^{3-2}z^{1-1})$
$= xy^2z(x^2y^0z^4 - 2x^0y^3z^2 + 3x^1y^1z^0) = xy^2z(x^2z^4 - 2y^3z^2 + 3xy)$.

Ответ: $xy^2z(x^2z^4 - 2y^3z^2 + 3xy)$

В выражении $a^{2n}b^{3n} - a^nb^{4n}$, где $n$ — натуральное число, найдём общий множитель.
1. Общие коэффициенты равны 1, поэтому их не рассматриваем.
2. Определяем общие переменные с наименьшими степенями. Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $2n > n$ и $4n > 3n$.

• для $a$: степени $2n$ и $n$, наименьшая $n$. Выносим $a^n$.
• для $b$: степени $3n$ и $4n$, наименьшая $3n$. Выносим $b^{3n}$.

3. Общий множитель: $a^nb^{3n}$.
4. Выносим его за скобки:
$a^nb^{3n}(\frac{a^{2n}b^{3n}}{a^nb^{3n}} - \frac{a^nb^{4n}}{a^nb^{3n}}) = a^nb^{3n}(a^{2n-n}b^{3n-3n} - a^{n-n}b^{4n-3n})$
$= a^nb^{3n}(a^nb^0 - a^0b^n) = a^nb^{3n}(a^n \cdot 1 - 1 \cdot b^n) = a^nb^{3n}(a^n - b^n)$.

Ответ: $a^nb^{3n}(a^n - b^n)$

1374. Вычислите, используя вынесение общего множителя за скобки:

1) $2,49 \cdot 1,35 - 1,35 \cdot 1,84 + 1,35^2;$

2) $0,25^2 \cdot 1,6 + 0,25 \cdot 1,6^2 - 0,25 \cdot 1,6 \cdot 0,85;$

3) $3,24 \cdot 18,7 - 3,24 \cdot 16,4 + 2,3 \cdot 6,76;$

4) $5,12 \cdot 9,76 + 5,12 \cdot 5,36 - 5,12^2.$

1) $2,49 \cdot 1,35 - 1,35 \cdot 1,84 + 1,35^2$

Заметим, что $1,35^2 = 1,35 \cdot 1,35$. Общий множитель для всех членов выражения — $1,35$. Вынесем его за скобки:

$1,35 \cdot (2,49 - 1,84 + 1,35)$

Сначала выполним действия в скобках, а затем умножение. Это упростит вычисления:

$1,35 \cdot (2,49 - 1,84 + 1,35) = 1,35 \cdot (0,65 + 1,35) = 1,35 \cdot 2 = 2,7$

Ответ: $2,7$

2) $0,25^2 \cdot 1,6 + 0,25 \cdot 1,6^2 - 0,25 \cdot 1,6 \cdot 0,85$

Представим $0,25^2$ как $0,25 \cdot 0,25$ и $1,6^2$ как $1,6 \cdot 1,6$. Общий множитель для всех членов выражения — $0,25 \cdot 1,6$. Вынесем его за скобки:

$0,25 \cdot 1,6 \cdot (0,25 + 1,6 - 0,85)$

Вычислим сначала значение общего множителя, а затем выражение в скобках:

$0,25 \cdot 1,6 \cdot (0,25 + 1,6 - 0,85) = 0,4 \cdot (1,85 - 0,85) = 0,4 \cdot 1 = 0,4$

Ответ: $0,4$

3) $3,24 \cdot 18,7 - 3,24 \cdot 16,4 + 2,3 \cdot 6,76$

Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем у них общий множитель $3,24$ за скобки:

$3,24 \cdot (18,7 - 16,4) + 2,3 \cdot 6,76$

Вычислим значение в скобках:

$18,7 - 16,4 = 2,3$

Подставим результат в выражение. Теперь у нас новый общий множитель $2,3$. Вынесем его за скобки:

$3,24 \cdot 2,3 + 2,3 \cdot 6,76 = 2,3 \cdot (3,24 + 6,76)$

Выполним оставшиеся вычисления:

$2,3 \cdot (3,24 + 6,76) = 2,3 \cdot 10 = 23$

Ответ: $23$

4) $5,12 \cdot 9,76 + 5,12 \cdot 5,36 - 5,12^2$

Заметим, что $5,12^2 = 5,12 \cdot 5,12$. Общий множитель для всех членов выражения — $5,12$. Вынесем его за скобки:

$5,12 \cdot (9,76 + 5,36 - 5,12)$

Теперь выполним действия в скобках, а затем умножение:

$5,12 \cdot (9,76 + 5,36 - 5,12) = 5,12 \cdot (15,12 - 5,12) = 5,12 \cdot 10 = 51,2$

Ответ: $51,2$

1375. Докажите, что значение выражения:

1) $17^3 + 17^2 - 17$ кратно 61;

2) $25^4 - 125^2$ кратно 40;

3) $5 \cdot 2^{962} - 3 \cdot 2^{961} + 2^{960}$ кратно 60.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $17^3 + 17^2 - 17$ кратно 61, преобразуем его, вынеся общий множитель 17 за скобки:
$17^3 + 17^2 - 17 = 17 \cdot (17^2 + 17 - 1)$
Вычислим значение выражения в скобках:
$17^2 + 17 - 1 = 289 + 17 - 1 = 305$
Таким образом, исходное выражение равно $17 \cdot 305$.
Проверим делимость числа 305 на 61: $305 \div 61 = 5$.
Следовательно, мы можем представить выражение в виде:
$17 \cdot 305 = 17 \cdot (5 \cdot 61) = 85 \cdot 61$
Поскольку выражение является произведением, где один из множителей равен 61, оно кратно 61.
Ответ: так как выражение $17^3 + 17^2 - 17$ можно представить в виде произведения $85 \cdot 61$, оно кратно 61.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $25^4 - 125^2$ кратно 40, приведем степени к общему основанию 5:
$25 = 5^2$ и $125 = 5^3$.
Подставим в выражение:
$25^4 - 125^2 = (5^2)^4 - (5^3)^2 = 5^8 - 5^6$
Вынесем за скобки общий множитель $5^6$:
$5^6 \cdot (5^2 - 1) = 5^6 \cdot (25 - 1) = 5^6 \cdot 24$
Чтобы доказать кратность 40, разложим 40 на множители: $40 = 5 \cdot 8$.
Теперь преобразуем полученное выражение:
$5^6 \cdot 24 = 5^5 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 8 = (5 \cdot 8) \cdot (5^5 \cdot 3) = 40 \cdot 3 \cdot 5^5$
Поскольку выражение является произведением, где один из множителей равен 40, оно кратно 40.
Ответ: так как выражение $25^4 - 125^2$ можно представить в виде произведения $40 \cdot 3 \cdot 5^5$, оно кратно 40.

3) Чтобы доказать, что значение выражения $5 \cdot 2^{962} - 3 \cdot 2^{961} + 2^{960}$ кратно 60, вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $2^{960}$:
$5 \cdot 2^{962} - 3 \cdot 2^{961} + 2^{960} = 2^{960} \cdot (5 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2^1 + 1)$
Вычислим значение выражения в скобках:
$5 \cdot 4 - 3 \cdot 2 + 1 = 20 - 6 + 1 = 15$
Таким образом, исходное выражение равно $2^{960} \cdot 15$.
Чтобы доказать кратность 60, разложим 60 на множители: $60 = 4 \cdot 15 = 2^2 \cdot 15$.
Преобразуем полученное выражение, выделив множитель $2^2$:
$2^{960} \cdot 15 = 2^{958} \cdot 2^2 \cdot 15 = 2^{958} \cdot (4 \cdot 15) = 2^{958} \cdot 60$
Поскольку выражение является произведением, где один из множителей равен 60, оно кратно 60.
Ответ: так как выражение $5 \cdot 2^{962} - 3 \cdot 2^{961} + 2^{960}$ можно представить в виде произведения $2^{958} \cdot 60$, оно кратно 60.

1376.Докажите, что число:

1) $\overline{abba}$ делится нацело на 11;

2) $\overline{aaabbb}$ делится нацело на 37;

3) $\overline{ababab}$ делится нацело на 7;

4) $\overline{abab} - \overline{baba}$ делится нацело на 9 и на 101.

1) $\overline{abba}$ делится нацело на 11;
Представим число $\overline{abba}$ в виде суммы разрядных слагаемых, где $a$ и $b$ — цифры, причем $a \neq 0$.
$\overline{abba} = a \cdot 10^3 + b \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + a \cdot 10^0 = 1000a + 100b + 10b + a$.
Сгруппируем слагаемые:
$(1000a + a) + (100b + 10b) = 1001a + 110b$.
Заметим, что оба коэффициента делятся на 11, так как $1001 = 11 \cdot 91$ и $110 = 11 \cdot 10$. Вынесем 11 за скобки:
$1001a + 110b = 11 \cdot 91a + 11 \cdot 10b = 11(91a + 10b)$.
Поскольку число $\overline{abba}$ можно представить в виде произведения, где один из множителей равен 11, то оно делится на 11 нацело.
Ответ: Доказано.

2) $\overline{aaabbb}$ делится нацело на 37;
Представим число $\overline{aaabbb}$, сгруппировав разряды по три:
$\overline{aaabbb} = \overline{aaa} \cdot 10^3 + \overline{bbb} = (100a+10a+a) \cdot 1000 + (100b+10b+b) = 111a \cdot 1000 + 111b$.
Вынесем за скобки общий множитель 111:
$111 \cdot (1000a + b)$.
Известно, что $111 = 3 \cdot 37$. Подставим это в выражение:
$111 \cdot (1000a + b) = 3 \cdot 37 \cdot (1000a + b) = 37 \cdot [3(1000a + b)]$.
Так как выражение является произведением, в котором один из множителей равен 37, то число $\overline{aaabbb}$ делится на 37 нацело.
Ответ: Доказано.

3) $\overline{ababab}$ делится нацело на 7;
Представим число $\overline{ababab}$ как повторение двухразрядного числа $\overline{ab}$:
$\overline{ababab} = \overline{ab} \cdot 10^4 + \overline{ab} \cdot 10^2 + \overline{ab} \cdot 1 = \overline{ab} \cdot (10000 + 100 + 1) = \overline{ab} \cdot 10101$.
Проверим, делится ли число 10101 на 7:
$10101 \div 7 = 1443$.
Следовательно, $10101 = 7 \cdot 1443$. Подставим это в наше выражение:
$\overline{ab} \cdot 10101 = \overline{ab} \cdot (7 \cdot 1443) = 7 \cdot (\overline{ab} \cdot 1443)$.
Так как выражение является произведением, в котором один из множителей равен 7, то число $\overline{ababab}$ делится на 7 нацело.
Ответ: Доказано.

4) $\overline{abab} - \overline{baba}$ делится нацело на 9 и на 101.
Представим числа $\overline{abab}$ и $\overline{baba}$ в виде суммы разрядных слагаемых:
$\overline{abab} = 1000a + 100b + 10a + b = 1010a + 101b$.
$\overline{baba} = 1000b + 100a + 10b + a = 1010b + 101a$.
Найдем их разность:
$\overline{abab} - \overline{baba} = (1010a + 101b) - (1010b + 101a) = 1010a - 101a + 101b - 1010b = 909a - 909b$.
Вынесем общий множитель 909 за скобки:
$909(a-b)$.
Разложим число 909 на множители: $909 = 9 \cdot 101$.
Подставим это в выражение разности:
$9 \cdot 101 \cdot (a-b)$.
Это выражение содержит множители 9 и 101, следовательно, оно делится нацело и на 9, и на 101.
Ответ: Доказано.

1377. При каком значении $a$ уравнение $(x+2)(x-4)-(x-2)(x+4)=ax$ имеет бесконечно много корней?

Для того чтобы линейное уравнение имело бесконечно много корней, оно должно быть тождеством, то есть после всех преобразований принять вид $0 \cdot x = 0$. Это означает, что коэффициенты при переменной $x$ в левой и правой частях должны быть равны, а свободные члены (если они есть) также должны быть равны.

Рассмотрим данное уравнение: $(x + 2)(x - 4) - (x - 2)(x + 4) = ax$

Упростим левую часть уравнения, раскрыв скобки. Используем правило умножения многочленов (или формулу разности квадратов, заметив, что $(x+a)(x-b)$ и $(x-a)(x+b)$ не являются стандартными формулами, поэтому лучше раскрывать "в лоб").

Раскрываем первую пару скобок: $(x + 2)(x - 4) = x \cdot x - 4 \cdot x + 2 \cdot x - 2 \cdot 4 = x^2 - 2x - 8$

Раскрываем вторую пару скобок: $(x - 2)(x + 4) = x \cdot x + 4 \cdot x - 2 \cdot x - 2 \cdot 4 = x^2 + 2x - 8$

Теперь подставим полученные выражения обратно в уравнение: $(x^2 - 2x - 8) - (x^2 + 2x - 8) = ax$

Раскроем скобки в левой части, учитывая знак минус перед второй скобкой: $x^2 - 2x - 8 - x^2 - 2x + 8 = ax$

Приведем подобные слагаемые в левой части: $(x^2 - x^2) + (-2x - 2x) + (-8 + 8) = ax$ $0 - 4x + 0 = ax$ $-4x = ax$

Это равенство должно выполняться для любого значения $x$. Такое возможно только тогда, когда коэффициенты при $x$ в левой и правой частях равны. Сравнивая коэффициенты, получаем: $a = -4$

При $a = -4$ уравнение принимает вид $-4x = -4x$, что является верным равенством (тождеством) для любого значения $x$. Следовательно, при $a = -4$ уравнение имеет бесконечно много корней.

Ответ: при $a = -4$.

1378. При каком значении $a$ уравнение $(3x-1)(x+a)=(3x-2)(x+1)$ не имеет корней?

Для того чтобы уравнение не имело корней, необходимо его преобразовать к виду $Ax = B$ и найти такие значения параметра a, при которых $A=0$, а $B \ne 0$.

Исходное уравнение:

$(3x - 1)(x + a) = (3x - 2)(x + 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, выполнив умножение многочленов:

$3x \cdot x + 3x \cdot a - 1 \cdot x - 1 \cdot a = 3x \cdot x + 3x \cdot 1 - 2 \cdot x - 2 \cdot 1$

$3x^2 + 3ax - x - a = 3x^2 + 3x - 2x - 2$

Упростим правую часть:

$3x^2 + 3ax - x - a = 3x^2 + x - 2$

Взаимно уничтожим слагаемое $3x^2$ в обеих частях уравнения, так как оно присутствует и слева, и справа:

$3ax - x - a = x - 2$

Теперь сгруппируем все слагаемые, содержащие переменную x, в левой части, а все остальные слагаемые — в правой:

$3ax - x - x = a - 2$

Вынесем x за скобки в левой части:

$(3a - 1 - 1)x = a - 2$

$(3a - 2)x = a - 2$

Мы привели уравнение к линейному виду $Ax = B$, где коэффициент $A = 3a - 2$ и свободный член $B = a - 2$.

Линейное уравнение не имеет корней (решений) тогда и только тогда, когда коэффициент при x равен нулю, а правая часть (свободный член) не равна нулю. Запишем это в виде системы условий:

$\begin{cases} 3a - 2 = 0 \\ a - 2 \ne 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение, чтобы найти значение a:

$3a - 2 = 0$

$3a = 2$

$a = \frac{2}{3}$

Теперь подставим найденное значение a во второе условие (неравенство), чтобы убедиться, что оно выполняется:

$a - 2 = \frac{2}{3} - 2 = \frac{2}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{4}{3}$

Поскольку $-\frac{4}{3} \ne 0$, второе условие выполнено.

Следовательно, при $a = \frac{2}{3}$ исходное уравнение превращается в уравнение $0 \cdot x = -\frac{4}{3}$, которое не имеет решений.

Ответ: $a = \frac{2}{3}$.

1379. азложите на множители:

1) $xm - xn + ym - yn$;

2) $3a - 3b + ac - bc$;

3) $9a - ab - 9 + b$;

4) $a^5 + a^3 + 2a^2 + 2$;

5) $6ab^2 - 3b^2 + 2a^2b - ab$;

6) $2c^3 - 5c^2d - 4c + 10d$;

7) $x^3y^2 - x + x^2y^3 - y$;

8) $ax^2 - ay - cy + bx^2 + cx^2 - by$.

1) $xm - xn + ym - yn$
Сгруппируем слагаемые: $(xm - xn) + (ym - yn)$.
Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе: $x(m - n) + y(m - n)$.
Вынесем общий множитель $(m - n)$: $(x + y)(m - n)$.
Ответ: $(x + y)(m - n)$.

2) $3a - 3b + ac - bc$
Сгруппируем слагаемые: $(3a - 3b) + (ac - bc)$.
Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе: $3(a - b) + c(a - b)$.
Вынесем общий множитель $(a - b)$: $(3 + c)(a - b)$.
Ответ: $(3 + c)(a - b)$.

3) $9a - ab - 9 + b$
Сгруппируем слагаемые: $(9a - 9) + (-ab + b)$.
Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе: $9(a - 1) - b(a - 1)$.
Вынесем общий множитель $(a - 1)$: $(a - 1)(9 - b)$.
Ответ: $(a - 1)(9 - b)$.

4) $a^5 + a^3 + 2a^2 + 2$
Сгруппируем слагаемые: $(a^5 + a^3) + (2a^2 + 2)$.
Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе: $a^3(a^2 + 1) + 2(a^2 + 1)$.
Вынесем общий множитель $(a^2 + 1)$: $(a^3 + 2)(a^2 + 1)$.
Ответ: $(a^3 + 2)(a^2 + 1)$.

5) $6ab^2 - 3b^2 + 2a^2b - ab$
Перегруппируем слагаемые для удобства: $(6ab^2 + 2a^2b) + (-3b^2 - ab)$.
Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе: $2ab(3b + a) - b(3b + a)$.
Вынесем общий множитель $(3b + a)$: $(3b + a)(2ab - b)$.
Из второго множителя вынесем общий множитель $b$: $b(3b + a)(2a - 1)$.
Ответ: $b(a + 3b)(2a - 1)$.

6) $2c^3 - 5c^2d - 4c + 10d$
Сгруппируем слагаемые: $(2c^3 - 5c^2d) + (-4c + 10d)$.
Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе: $c^2(2c - 5d) - 2(2c - 5d)$.
Вынесем общий множитель $(2c - 5d)$: $(c^2 - 2)(2c - 5d)$.
Ответ: $(c^2 - 2)(2c - 5d)$.

7) $x^3y^2 - x + x^2y^3 - y$
Сгруппируем слагаемые: $(x^3y^2 - x) + (x^2y^3 - y)$.
Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе: $x(x^2y^2 - 1) + y(x^2y^2 - 1)$.
Вынесем общий множитель $(x^2y^2 - 1)$: $(x + y)(x^2y^2 - 1)$.
Второй множитель является разностью квадратов, разложим его по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $(x + y)(xy - 1)(xy + 1)$.
Ответ: $(x + y)(xy - 1)(xy + 1)$.

8) $ax^2 - ay - cy + bx^2 + cx^2 - by$
Сгруппируем слагаемые с переменной $x^2$ и слагаемые с переменной $y$: $(ax^2 + bx^2 + cx^2) - (ay + by + cy)$.
Вынесем общие множители $x^2$ и $y$ за скобки в каждой группе: $x^2(a + b + c) - y(a + b + c)$.
Вынесем общий множитель $(a + b + c)$: $(a + b + c)(x^2 - y)$.
Ответ: $(a + b + c)(x^2 - y)$.

1380. Вычислите значение выражения:

1) $1.66^2 + 1.66 \cdot 4.68 + 2.34^2;$

2) $1.04^2 - 1.04 \cdot 1.28 + 0.64^2.$

1) $1,66^2 + 1,66 \cdot 4,68 + 2,34^2$

Данное выражение похоже на формулу квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

Чтобы проверить, можно ли применить эту формулу, определим $a$ и $b$. Пусть $a = 1,66$ и $b = 2,34$.

Тогда первый член выражения – это $a^2 = 1,66^2$, а третий член – это $b^2 = 2,34^2$.

Теперь проверим, соответствует ли средний член выражению $2ab$.

$2ab = 2 \cdot 1,66 \cdot 2,34 = 1,66 \cdot (2 \cdot 2,34) = 1,66 \cdot 4,68$.

Средний член совпадает, следовательно, мы можем применить формулу квадрата суммы для упрощения вычислений.

$1,66^2 + 1,66 \cdot 4,68 + 2,34^2 = (1,66 + 2,34)^2$.

Сначала выполним сложение в скобках:

$1,66 + 2,34 = 4$.

Затем возведем полученный результат в квадрат:

$4^2 = 16$.

Ответ: 16

2) $1,04^2 - 1,04 \cdot 1,28 + 0,64^2$

Данное выражение похоже на формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

Чтобы проверить, можно ли применить эту формулу, определим $a$ и $b$. Пусть $a = 1,04$ и $b = 0,64$.

Тогда первый член выражения – это $a^2 = 1,04^2$, а третий член – это $b^2 = 0,64^2$.

Теперь проверим, соответствует ли средний член выражению $2ab$.

$2ab = 2 \cdot 1,04 \cdot 0,64 = 1,04 \cdot (2 \cdot 0,64) = 1,04 \cdot 1,28$.

Средний член совпадает, следовательно, мы можем применить формулу квадрата разности для упрощения вычислений.

$1,04^2 - 1,04 \cdot 1,28 + 0,64^2 = (1,04 - 0,64)^2$.

Сначала выполним вычитание в скобках:

$1,04 - 0,64 = 0,4$.

Затем возведем полученный результат в квадрат:

$(0,4)^2 = 0,16$.

Ответ: 0,16