Страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1442. Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если к этому числу прибавить 63, то получим число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Найдите данное число.

Пусть искомое двузначное число можно представить как $10x + y$, где $x$ — цифра десятков, а $y$ — цифра единиц.

Согласно первому условию, сумма цифр этого числа равна 11. Составим первое уравнение:
$x + y = 11$

Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, будет выглядеть как $10y + x$.

Согласно второму условию, если к исходному числу прибавить 63, то получится число с переставленными цифрами. Составим второе уравнение:
$(10x + y) + 63 = 10y + x$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$\begin{cases}x + y = 11 \\10x + y + 63 = 10y + x\end{cases}$

Упростим второе уравнение системы:
$10x - x + y - 10y = -63$
$9x - 9y = -63$
Разделим обе части уравнения на 9:
$x - y = -7$

Теперь решим полученную систему уравнений:
$\begin{cases}x + y = 11 \\x - y = -7\end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения:
$(x + y) + (x - y) = 11 + (-7)$
$2x = 4$
$x = 2$

Теперь подставим значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$2 + y = 11$
$y = 11 - 2$
$y = 9$

Итак, цифра десятков равна 2, а цифра единиц — 9. Искомое число — 29.

Проверим:
Сумма цифр: $2 + 9 = 11$.
Прибавление 63: $29 + 63 = 92$.
Все условия выполнены.

Ответ: 29.

1443. К некоторому двузначному числу слева и справа дописали цифру 1. В результате получили число, которое в 21 раз больше данного. Найдите данное двузначное число.

Пусть искомое двузначное число равно $x$.

Когда к этому числу слева и справа приписывают цифру 1, получается новое четырехзначное число. Это новое число можно представить математически. Если исходное число это $x$, то приписывание к нему цифры 1 слева и справа создает число, которое можно выразить формулой $1000 + 10x + 1$. Например, если бы исходное число было 54, то новое число было бы 1541, что равно $1000 + 10 \cdot 54 + 1$.

По условию задачи, полученное число в 21 раз больше данного. На основе этого составим уравнение:

$1000 + 10x + 1 = 21x$

Теперь решим это уравнение для нахождения $x$.

Сначала упростим левую часть уравнения:

$1001 + 10x = 21x$

Далее, перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону:

$1001 = 21x - 10x$

$1001 = 11x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 11:

$x = \frac{1001}{11}$

$x = 91$

Итак, искомое двузначное число — это 91.

Проведем проверку, чтобы убедиться в правильности решения.
Исходное число: 91.
Новое число с приписанными единицами: 1911.
Проверим, выполняется ли условие, что новое число в 21 раз больше исходного:
$91 \cdot 21 = 1911$.
$1911 = 1911$.
Равенство верно, следовательно, найденное число является правильным ответом.

Ответ: 91

1444. Сумма двух чисел равна 28, а разность их квадратов составляет 112. Найдите эти числа.

1444.

Обозначим искомые числа как x и y. Согласно условиям задачи, составим систему уравнений.

Сумма двух чисел равна 28, что можно записать как:

$x + y = 28$

Разность их квадратов составляет 112, что можно записать как:

$x^2 - y^2 = 112$

Таким образом, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 28 \\ x^2 - y^2 = 112 \end{cases}$

Второе уравнение системы представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$(x - y)(x + y) = 112$

Из первого уравнения мы знаем, что $x + y = 28$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$(x - y) \cdot 28 = 112$

Теперь мы можем найти разность чисел x и y:

$x - y = \frac{112}{28}$

$x - y = 4$

Теперь у нас есть новая, более простая система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 28 \\ x - y = 4 \end{cases}$

Для решения этой системы сложим два уравнения:

$(x + y) + (x - y) = 28 + 4$

$2x = 32$

$x = \frac{32}{2}$

$x = 16$

Чтобы найти y, подставим найденное значение x в первое уравнение ($x + y = 28$):

$16 + y = 28$

$y = 28 - 16$

$y = 12$

Проведем проверку: сумма чисел $16 + 12 = 28$, разность их квадратов $16^2 - 12^2 = 256 - 144 = 112$. Оба условия задачи выполнены.

Ответ: 16 и 12.

1445. Разгадайте кроссворд.

По горизонтали: 6. Функция «прямая ...». 7. Третья степень числа. 8. Предложение, раскрывающее суть нового термина. 13. Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде. 14. Геометрическая фигура, являющаяся графиком уравнения $x^2 + (y - 1)^2 = 0$. 15. Вторая степень числа. 16. График линейной функции. 18. Одна из координат точки на плоскости. 20. Равенство, выражающее связь между величинами. 23. Выражение, являющееся суммой нескольких одночленов. 24. Мухаммед ибн Муса аль-... .

По вертикали: 1. Независимая переменная. 2. Разложение многочлена на множители методом ... . 3. Равенство, правильное при любых значениях переменных. 4. Решение уравнения. 5. Произведение равных множителей. 9. Геометрическая фигура, состоящая из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента функции, а ординаты — соответствующим значениям функции. 10. Ось ... . 11. В выражении $7^4$ число 7 — ... степени. 12. Французский математик, в честь которого названа современная система координат. 17. Выражение, являющееся произведением чисел, переменных и их степеней. 19. Термин, которым обозначают процесс, позволяющий за конечное количество шагов получить решение задачи. 20. Правило, с помощью которого для каждого значения независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной. 21. Расстояние от точки координатной прямой до начала отсчёта. 22. В выражении $a^n$ число n — ... степени.

По горизонтали:

6. Функция «прямая ...».
Речь идет о функции вида $y=kx$, где $k \neq 0$, которая называется прямой пропорциональностью.

Ответ: пропорциональность

7. Третья степень числа.
Возведение числа в третью степень называется возведением в куб.

Ответ: куб

8. Предложение, раскрывающее суть нового термина.
Это точное значение слова "определение".

Ответ: определение

13. Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде.
Например, в одночлене $5a^2b$ число 5 является коэффициентом.

Ответ: коэффициент

14. Геометрическая фигура, являющаяся графиком уравнения $x^2 + (y - 1)^2 = 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда оба числа равны нулю. Следовательно, $x^2 = 0$ и $(y-1)^2 = 0$, что означает $x=0$ и $y=1$. Это координаты единственной точки (0; 1).

Ответ: точка

15. Вторая степень числа.
Возведение числа во вторую степень называется возведением в квадрат.

Ответ: квадрат

16. График линейной функции.
Графиком линейной функции $y=kx+b$ является прямая линия.

Ответ: прямая

18. Одна из координат точки на плоскости.
Координаты точки на плоскости называются абсцисса (ось x) и ордината (ось y). Оба слова состоят из 8 букв, в то время как в кроссворде 7 клеток. Наиболее вероятный ответ при допущении ошибки в сетке кроссворда — ордината.

Ответ: ордината

20. Равенство, выражающее связь между величинами.
Такое равенство называется формулой. Например, $S = vt$ — формула пути.

Ответ: формула

23. Выражение, являющееся суммой нескольких одночленов.
По определению, это многочлен.

Ответ: многочлен

24. Мухаммед ибн Муса аль-... .
Великий персидский математик, от имени которого произошло слово «алгоритм», а от названия его труда «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» — слово «алгебра».

Ответ: Хорезми

По вертикали:

1. Независимая переменная.
В функции $y=f(x)$ переменная $x$ является независимой переменной, или аргументом.

Ответ: аргумент

2. Разложение многочлена на множители методом ... .
Один из стандартных методов разложения на множители — это метод группировки.

Ответ: группировки

3. Равенство, правильное при любых значениях переменных.
Такое равенство называется тождеством. Например, $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Ответ: тождество

4. Решение уравнения.
Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство, называется корнем уравнения.

Ответ: корень

5. Произведение равных множителей.
Произведение $n$ одинаковых множителей, каждый из которых равен $a$, называется степенью числа $a$.

Ответ: степень

9. Геометрическая фигура, состоящая из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента функции, а ординаты — соответствующим значениям функции.
Это точное определение графика функции.

Ответ: график

10. Ось ... .
В прямоугольной системе координат есть ось абсцисс и ось ординат. Оба слова подходят по количеству букв (7).

Ответ: ординат

11. В выражении $7^4$ число 7 — ... степени.
В записи степени $a^n$ число $a$ называется основанием степени.

Ответ: основание

12. Французский математик, в честь которого названа современная система координат.
Прямоугольная система координат также называется декартовой системой координат в честь Рене Декарта.

Ответ: Декарт

17. Выражение, являющееся произведением чисел, переменных и их степеней.
Это определение одночлена.

Ответ: одночлен

19. Термин, которым обозначают процесс, позволяющий за конечное количество шагов получить решение задачи.
Это точное определение алгоритма.

Ответ: алгоритм

20. Правило, с помощью которого для каждого значения независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной.
Это определение функции.

Ответ: функция

21. Расстояние от точки координатной прямой до начала отсчёта.
Это геометрическое определение модуля (абсолютной величины) числа.

Ответ: модуль

22. В выражении $a^n$ число n — ... степени.
В записи степени $a^n$ число $n$ называется показателем степени.

Ответ: показатель