Страница 266 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1432. Составьте систему двух линейных уравнений с двумя переменными, решением которой является пара чисел:

1) $(1; 1)$;

2) $(-3; 5)$.

1) Задача состоит в том, чтобы найти два различных линейных уравнения вида $ax + by = c$, которым удовлетворяет пара чисел $(1; 1)$, то есть $x=1$ и $y=1$. Существует бесконечное множество таких систем, поэтому мы можем выбрать коэффициенты $a$ и $b$ произвольно, а затем вычислить $c$.
Составим первое уравнение. Возьмем, к примеру, коэффициенты $a_1=1$ и $b_1=1$. Подставим значения $x$ и $y$ в левую часть уравнения, чтобы найти $c_1$:
$c_1 = a_1x + b_1y = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 2$.
Таким образом, первое уравнение: $x + y = 2$.
Составим второе уравнение. Выберем другие коэффициенты, например, $a_2=2$ и $b_2=-1$. Снова найдем $c_2$:
$c_2 = a_2x + b_2y = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 2 - 1 = 1$.
Второе уравнение: $2x - y = 1$.
Запишем эти два уравнения в виде системы: $$ \begin{cases} x + y = 2 \\ 2x - y = 1 \end{cases} $$ Эта система является одним из возможных решений, так как пара чисел $(1; 1)$ удовлетворяет обоим уравнениям.
Ответ: $$ \begin{cases} x + y = 2 \\ 2x - y = 1 \end{cases} $$

2) Аналогично составим систему для пары чисел $(-3; 5)$, где $x=-3$ и $y=5$.
Для первого уравнения выберем коэффициенты $a_1=1$ и $b_1=1$. Найдем соответствующее значение $c_1$:
$c_1 = a_1x + b_1y = 1 \cdot (-3) + 1 \cdot 5 = -3 + 5 = 2$.
Первое уравнение: $x + y = 2$.
Для второго уравнения выберем другие коэффициенты, например, $a_2=1$ и $b_2=-1$. Найдем $c_2$:
$c_2 = a_2x + b_2y = 1 \cdot (-3) + (-1) \cdot 5 = -3 - 5 = -8$.
Второе уравнение: $x - y = -8$.
Объединим уравнения в систему: $$ \begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = -8 \end{cases} $$ Эта система имеет решением пару чисел $(-3; 5)$.
Ответ: $$ \begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = -8 \end{cases} $$

1433. При каком значении $a$ сумма $x + y$ принимает наименьшее значение, если:

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 2a^2 - 12a + 8, \\ 3x - 2y = 3a^2 + 8a + 12? \end{cases} $$

Для того чтобы найти, при каком значении параметра $a$ сумма $x + y$ принимает наименьшее значение, необходимо сначала выразить $x$ и $y$ через $a$. Для этого решим данную систему линейных уравнений.

Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} 2x + 3y = 2a^2 - 12a + 8 \\ 3x - 2y = 3a^2 + 8a + 12 \end{cases} $$

Решим систему методом алгебраического сложения. Сначала исключим переменную $y$. Для этого умножим первое уравнение на 2, а второе на 3:$$ \begin{cases} 2 \cdot (2x + 3y) = 2 \cdot (2a^2 - 12a + 8) \\ 3 \cdot (3x - 2y) = 3 \cdot (3a^2 + 8a + 12) \end{cases} $$$$ \begin{cases} 4x + 6y = 4a^2 - 24a + 16 \\ 9x - 6y = 9a^2 + 24a + 36 \end{cases} $$

Теперь сложим эти два уравнения:$(4x + 9x) + (6y - 6y) = (4a^2 + 9a^2) + (-24a + 24a) + (16 + 36)$

$13x = 13a^2 + 52$

Разделим обе части уравнения на 13, чтобы найти $x$:$x = a^2 + 4$

Теперь найдем переменную $y$. Для этого вернемся к исходной системе и исключим переменную $x$. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2:$$ \begin{cases} 3 \cdot (2x + 3y) = 3 \cdot (2a^2 - 12a + 8) \\ 2 \cdot (3x - 2y) = 2 \cdot (3a^2 + 8a + 12) \end{cases} $$$$ \begin{cases} 6x + 9y = 6a^2 - 36a + 24 \\ 6x - 4y = 6a^2 + 16a + 24 \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:$(6x - 6x) + (9y - (-4y)) = (6a^2 - 6a^2) + (-36a - 16a) + (24 - 24)$

$13y = -52a$

Разделим обе части уравнения на 13, чтобы найти $y$:$y = -4a$

Теперь, когда мы выразили $x$ и $y$ через $a$, найдем их сумму, которую обозначим как $S(a)$:$S(a) = x + y = (a^2 + 4) + (-4a) = a^2 - 4a + 4$

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = a^2 - 4a + 4$. Нам нужно найти, при каком значении $a$ эта функция принимает наименьшее значение. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $a^2$ равен 1 (положительное число). Следовательно, наименьшее значение функция принимает в своей вершине.

Выражение для $S(a)$ можно представить в виде полного квадрата:$S(a) = (a - 2)^2$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(a - 2)^2 \ge 0$. Наименьшее значение, равное 0, достигается, когда выражение в скобках равно нулю:$a - 2 = 0$$a = 2$

Таким образом, сумма $x + y$ принимает наименьшее значение при $a=2$.

Ответ: при $a = 2$.

1434.При каком значении $a$ разность $x - y$ принимает наименьшее значение, если:

$\begin{cases} x - 5y = a^2 + 10a + 1,\\ 4x + y = 4a^2 - 2a + 4?\end{cases}$

Для того чтобы найти, при каком значении $a$ разность $x - y$ принимает наименьшее значение, необходимо сначала выразить $x$ и $y$ через параметр $a$, решив данную систему уравнений. Затем, подставив полученные выражения в разность $x - y$, мы получим функцию от $a$, наименьшее значение которой нам и предстоит найти.

Имеем систему уравнений:$\begin{cases}x - 5y = a^2 + 10a + 1, \\4x + y = 4a^2 - 2a + 4.\end{cases}$

Решим эту систему методом сложения. Для этого умножим второе уравнение на 5, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными по знаку:$\begin{cases}x - 5y = a^2 + 10a + 1, \\5(4x + y) = 5(4a^2 - 2a + 4)\end{cases}\implies\begin{cases}x - 5y = a^2 + 10a + 1, \\20x + 5y = 20a^2 - 10a + 20.\end{cases}$

Теперь сложим два уравнения системы:$ (x - 5y) + (20x + 5y) = (a^2 + 10a + 1) + (20a^2 - 10a + 20) $$ 21x = 21a^2 + 21 $Разделим обе части уравнения на 21:$ x = a^2 + 1 $

Подставим найденное выражение для $x$ во второе исходное уравнение, чтобы найти $y$:$ 4(a^2 + 1) + y = 4a^2 - 2a + 4 $$ 4a^2 + 4 + y = 4a^2 - 2a + 4 $Перенесем слагаемые, чтобы выразить $y$:$ y = 4a^2 - 2a + 4 - 4a^2 - 4 $$ y = -2a $

Теперь, когда мы выразили $x$ и $y$ через $a$, найдем разность $x - y$:$ x - y = (a^2 + 1) - (-2a) = a^2 + 2a + 1 $

Мы получили выражение $a^2 + 2a + 1$. Это квадратичная функция от $a$. Чтобы найти, при каком значении $a$ она принимает наименьшее значение, можно заметить, что это выражение является формулой полного квадрата:$ a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2 $

Выражение $(a+1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(a+1)^2 \ge 0$. Наименьшее значение, равное 0, данное выражение принимает тогда, когда основание степени равно нулю:$ a + 1 = 0 $$ a = -1 $

Таким образом, разность $x - y$ принимает наименьшее значение при $a = -1$.

Ответ: при $a = -1$.

1435. По окружности, длина которой равна 100 м, движутся два тела. Они встречаются каждые 20 с, двигаясь в одном направлении. Если бы они двигались в противоположных направлениях, то встречались бы каждые 4 с. С какой скоростью они движутся?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_1$ — скорость первого тела, а $v_2$ — скорость второго тела. По условию, длина окружности $L = 100$ м. Будем считать, что $v_1 > v_2$.

Рассмотрим первый случай: тела движутся в одном направлении. Они встречаются каждые $t_1 = 20$ с. Это означает, что за 20 секунд более быстрое тело проходит расстояние, равное дистанции, пройденной медленным телом, плюс один полный круг (длина окружности). Относительная скорость тел при движении в одном направлении равна разности их скоростей $(v_1 - v_2)$. Таким образом, можно составить уравнение:

$L = (v_1 - v_2) \cdot t_1$

Подставим известные значения:

$100 = (v_1 - v_2) \cdot 20$

Из этого уравнения выразим разность скоростей:

$v_1 - v_2 = \frac{100}{20} = 5$

Рассмотрим второй случай: тела движутся в противоположных направлениях. Они встречаются каждые $t_2 = 4$ с. При движении навстречу друг другу их относительная скорость (скорость сближения) равна сумме их скоростей $(v_1 + v_2)$. За 4 секунды суммарное расстояние, которое они проходят, равно длине окружности. Составим второе уравнение:

$L = (v_1 + v_2) \cdot t_2$

Подставим известные значения:

$100 = (v_1 + v_2) \cdot 4$

Из этого уравнения выразим сумму скоростей:

$v_1 + v_2 = \frac{100}{4} = 25$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_1 - v_2 = 5 \\ v_1 + v_2 = 25 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(v_1 - v_2) + (v_1 + v_2) = 5 + 25$

$2v_1 = 30$

$v_1 = 15$ м/с

Подставим найденное значение $v_1$ во второе уравнение системы, чтобы найти $v_2$:

$15 + v_2 = 25$

$v_2 = 25 - 15$

$v_2 = 10$ м/с

Ответ: скорости тел равны 15 м/с и 10 м/с.

1436. Сплавили два слитка. Масса одного из них была 105 г, и он содержал 40% меди. Масса другого слитка составляла 75 г. Найдите процентное содержание меди во втором слитке, если полученный сплав содержит 50% меди.

Для решения задачи найдем массу меди в каждом слитке и в итоговом сплаве.

1. Найдем массу меди в первом слитке.
Масса первого слитка $m_1 = 105$ г.
Процентное содержание меди в нем $p_1 = 40\%$.
Масса меди в первом слитке $m_{меди1}$ вычисляется по формуле:
$m_{меди1} = m_1 \cdot \frac{p_1}{100\%} = 105 \cdot \frac{40}{100} = 105 \cdot 0.4 = 42$ г.

2. Найдем общую массу полученного сплава и массу меди в нем.
Масса второго слитка $m_2 = 75$ г.
Общая масса сплава $m_{сплава}$ равна сумме масс двух слитков:
$m_{сплава} = m_1 + m_2 = 105 + 75 = 180$ г.
По условию, полученный сплав содержит $p_{сплава} = 50\%$ меди.
Найдем общую массу меди в сплаве $m_{меди\_сплава}$:
$m_{меди\_сплава} = m_{сплава} \cdot \frac{p_{сплава}}{100\%} = 180 \cdot \frac{50}{100} = 180 \cdot 0.5 = 90$ г.

3. Найдем массу меди во втором слитке.
Общая масса меди в сплаве складывается из массы меди в первом и втором слитках: $m_{меди\_сплава} = m_{меди1} + m_{меди2}$.
Отсюда масса меди во втором слитке $m_{меди2}$:
$m_{меди2} = m_{меди\_сплава} - m_{меди1} = 90 - 42 = 48$ г.

4. Найдем процентное содержание меди во втором слитке.
Обозначим искомое процентное содержание меди во втором слитке как $p_2$. Оно равно отношению массы меди во втором слитке к общей массе второго слитка, умноженному на $100\%$.
$p_2 = \frac{m_{меди2}}{m_2} \cdot 100\% = \frac{48}{75} \cdot 100\%$.
$p_2 = 0.64 \cdot 100\% = 64\%$.

Ответ: 64%.

1437. Сколько надо взять 4%-го и сколько 10%-го растворов соли, чтобы получить 180 г 6%-го раствора?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это масса 4%-го раствора соли в граммах, а $y$ — масса 10%-го раствора соли в граммах.

Первое условие — это общая масса полученного раствора. Сумма масс двух исходных растворов должна быть равна массе итогового раствора, то есть 180 г. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 180$

Второе условие — это масса соли. Масса чистого вещества (соли) в итоговом растворе равна сумме масс соли в исходных растворах. Рассчитаем массу соли в каждом растворе:

• Масса соли в 4%-м растворе: $0.04 \cdot x$
• Масса соли в 10%-м растворе: $0.10 \cdot y$
• Масса соли в итоговом 6%-м растворе массой 180 г: $0.06 \cdot 180 = 10.8$ г

Сложив массы соли в исходных растворах, мы получим массу соли в конечном растворе. Это дает нам второе уравнение:

$0.04x + 0.10y = 10.8$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} x + y = 180 \\ 0.04x + 0.10y = 10.8 \end{cases} $

Для решения системы выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 180 - y$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$0.04(180 - y) + 0.10y = 10.8$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$0.04 \cdot 180 - 0.04y + 0.10y = 10.8$

$7.2 + 0.06y = 10.8$

Перенесем 7.2 в правую часть уравнения:

$0.06y = 10.8 - 7.2$

$0.06y = 3.6$

Найдем $y$:

$y = \frac{3.6}{0.06} = \frac{360}{6} = 60$

Итак, масса 10%-го раствора равна 60 г.

Теперь найдем массу 4%-го раствора, подставив значение $y$ в выражение $x = 180 - y$:

$x = 180 - 60 = 120$

Масса 4%-го раствора равна 120 г.

Проверка: общая масса $120 \text{ г} + 60 \text{ г} = 180 \text{ г}$. Масса соли: $(0.04 \cdot 120) + (0.10 \cdot 60) = 4.8 + 6 = 10.8$ г. Концентрация итогового раствора: $\frac{10.8}{180} \cdot 100\% = 6\%$. Все сходится.

Ответ: необходимо взять 120 г 4%-го раствора и 60 г 10%-го раствора.

1438. В первом бидоне было молоко жирностью 3%, а в другом — сливки жирностью 18%. Сколько надо взять молока и сколько сливок, чтобы получить 10 л молока жирностью 6%?

Для решения этой задачи необходимо составить и решить систему уравнений. Пусть $x$ — это количество литров молока жирностью 3%, а $y$ — количество литров сливок жирностью 18%.

1. Составление системы уравнений

Первое уравнение составим на основе общего объема смеси. По условию, мы должны получить 10 литров молока, значит, сумма объемов молока и сливок равна 10:

$x + y = 10$

Второе уравнение составим на основе количества жира в смеси. Количество жира в $x$ литрах 3% молока равно $0.03x$. Количество жира в $y$ литрах 18% сливок равно $0.18y$. В итоговой смеси должно быть 10 литров молока жирностью 6%, то есть количество жира в ней составит $10 \times 0.06 = 0.6$ литра. Сумма жира из исходных компонентов должна быть равна количеству жира в конечной смеси:

$0.03x + 0.18y = 0.6$

В результате мы получаем следующую систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 10 \\ 0.03x + 0.18y = 0.6 \end{cases}$

2. Решение системы уравнений

Для решения системы выразим одну переменную через другую. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 10 - x$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$0.03x + 0.18(10 - x) = 0.6$

Решим полученное уравнение относительно $x$. Сначала раскроем скобки:

$0.03x + 1.8 - 0.18x = 0.6$

Приведем подобные слагаемые:

$1.8 - 0.15x = 0.6$

Перенесем известные члены в одну сторону, а неизвестные — в другую:

$1.8 - 0.6 = 0.15x$

$1.2 = 0.15x$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{1.2}{0.15} = \frac{120}{15} = 8$

Таким образом, для смеси необходимо 8 литров молока жирностью 3%.

Теперь найдем количество сливок, подставив значение $x$ в выражение $y = 10 - x$:

$y = 10 - 8 = 2$

Следовательно, для смеси необходимо 2 литра сливок жирностью 18%.

3. Проверка

Проверим полученные результаты. Общий объем: $8 \text{ л} + 2 \text{ л} = 10 \text{ л}$. Общее количество жира: $(8 \times 0.03) + (2 \times 0.18) = 0.24 + 0.36 = 0.6$ л. Процент жирности итоговой смеси: $\frac{0.6 \text{ л}}{10 \text{ л}} \times 100\% = 6\%$. Все условия задачи выполнены, решение верное.

Ответ: чтобы получить 10 л молока жирностью 6%, надо взять 8 л молока жирностью 3% и 2 л сливок жирностью 18%.

1439. С одного поля собрали по 40 ц ячменя с гектара, а с другого – по 35 ц с гектара. Всего собрали 2600 ц. На следующий год урожайность первого поля увеличилась на 10%, второго – на 20%, а в результате всего с двух полей собрали на 400 ц больше. Найдите площадь каждого поля.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ – площадь первого поля в гектарах (га), а $y$ – площадь второго поля в гектарах (га).

1. Составление уравнения по данным первого года.

В первый год урожайность первого поля составляла 40 центнеров (ц) с гектара, а второго – 35 ц с гектара. Урожай, собранный с первого поля, равен $40x$ ц, а со второго – $35y$ ц. По условию, общий урожай составил 2600 ц. Составим первое уравнение:

$40x + 35y = 2600$

2. Составление уравнения по данным второго года.

На следующий год урожайность первого поля увеличилась на 10% и стала равна $40 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 40 \cdot 1.1 = 44$ ц/га.

Урожайность второго поля увеличилась на 20% и стала равна $35 \cdot (1 + \frac{20}{100}) = 35 \cdot 1.2 = 42$ ц/га.

Общий урожай во второй год был на 400 ц больше, чем в первый, и составил $2600 + 400 = 3000$ ц. Урожай, собранный с первого поля, равен $44x$ ц, а со второго – $42y$ ц. Составим второе уравнение:

$44x + 42y = 3000$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 40x + 35y = 2600 \\ 44x + 42y = 3000 \end{cases}$

Упростим оба уравнения для удобства вычислений. Разделим обе части первого уравнения на 5, а второго – на 2:

$\begin{cases} 8x + 7y = 520 \\ 22x + 21y = 1500 \end{cases}$

Для решения системы методом алгебраического сложения умножим первое уравнение на -3, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными:

$-3 \cdot (8x + 7y) = -3 \cdot 520$

$-24x - 21y = -1560$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(-24x - 21y) + (22x + 21y) = -1560 + 1500$

$-2x = -60$

$x = 30$

Мы нашли площадь первого поля. Теперь подставим значение $x=30$ в упрощенное первое уравнение ($8x + 7y = 520$) чтобы найти $y$:

$8(30) + 7y = 520$

$240 + 7y = 520$

$7y = 520 - 240$

$7y = 280$

$y = 40$

Таким образом, площадь первого поля составляет 30 га, а второго – 40 га.

Проверка:

Первый год: $40 \cdot 30 + 35 \cdot 40 = 1200 + 1400 = 2600$ ц. Верно.

Второй год: $44 \cdot 30 + 42 \cdot 40 = 1320 + 1680 = 3000$ ц. Верно ($2600 + 400 = 3000$).

Ответ: Площадь первого поля – 30 га, площадь второго поля – 40 га.

1440. С одного поля собрали по 45 ц пшеницы с гектара, а с другого – по 1443 ц с гектара. Всего собрали 1900 ц. На следующий год в связи с засухой урожайность первого поля уменьшилась на 20%, второго – на 15%, а в результате всего с двух полей собрали меньше на 330 ц. Найдите площадь каждого поля.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — площадь первого поля в гектарах (га), а $y$ — площадь второго поля в гектарах (га).

В первый год урожайность первого поля составляла 45 центнеров с гектара, а второго — 40 ц/га (в условии задачи, вероятно, допущена опечатка, и указано 40 ц/га, а не 1443 ц/га, что является более реалистичным значением и приводит к целочисленному решению).

Общий урожай с первого поля за первый год составил $45x$ центнеров, а со второго — $40y$ центнеров. Суммарный урожай с двух полей равен 1900 центнеров. Составим первое уравнение:

$45x + 40y = 1900$

На следующий год из-за засухи урожайность первого поля уменьшилась на 20%. Новая урожайность первого поля:

$45 \cdot (1 - \frac{20}{100}) = 45 \cdot 0.8 = 36$ ц/га

Урожайность второго поля уменьшилась на 15%. Новая урожайность второго поля:

$40 \cdot (1 - \frac{15}{100}) = 40 \cdot 0.85 = 34$ ц/га

Общий урожай за второй год был на 330 центнеров меньше, чем в первый год, и составил:

$1900 - 330 = 1570$ центнеров

Составим второе уравнение, исходя из данных за второй год:

$36x + 34y = 1570$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$$ \begin{cases} 45x + 40y = 1900 \\ 36x + 34y = 1570 \end{cases} $$

Для удобства решения упростим оба уравнения. Разделим все члены первого уравнения на 5, а второго — на 2:

$$ \begin{cases} 9x + 8y = 380 \\ 18x + 17y = 785 \end{cases} $$

Решим систему методом подстановки. Выразим $9x$ из первого уравнения:

$9x = 380 - 8y$

Умножим это выражение на 2, чтобы получить выражение для $18x$:

$18x = 2 \cdot (380 - 8y) = 760 - 16y$

Подставим полученное выражение для $18x$ во второе уравнение системы:

$(760 - 16y) + 17y = 785$

Решим получившееся уравнение относительно $y$:

$760 + y = 785$

$y = 785 - 760$

$y = 25$

Теперь, зная значение $y$, найдем $x$. Подставим $y=25$ в уравнение $9x = 380 - 8y$:

$9x = 380 - 8 \cdot 25$

$9x = 380 - 200$

$9x = 180$

$x = \frac{180}{9}$

$x = 20$

Таким образом, площадь первого поля составляет 20 гектаров, а площадь второго поля — 25 гектаров.

Ответ: площадь первого поля — 20 гектаров, площадь второго поля — 25 гектаров.

1441. Половину конфет расфасовали в пакеты по 500 г в каждый, а вторую половину — в меньшие пакеты по 300 г в каждый. Всего получилось 32 пакета. Сколько было килограммов конфет?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это масса половины всех конфет в граммах. Следовательно, общая масса всех конфет составляет $2x$ грамм.

Согласно условию, первую половину конфет (массой $x$ грамм) расфасовали в пакеты по 500 г. Количество пакетов, полученных из этой половины, можно выразить как:
$n_1 = \frac{x}{500}$

Вторую половину конфет (также массой $x$ грамм) расфасовали в пакеты по 300 г. Количество пакетов, полученных из второй половины, равно:
$n_2 = \frac{x}{300}$

Общее количество пакетов равно 32. Мы можем составить уравнение, сложив количество пакетов обоих видов:
$n_1 + n_2 = 32$
$\frac{x}{500} + \frac{x}{300} = 32$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим кратным для чисел 500 и 300 является 1500. Умножим обе части уравнения на 1500:
$1500 \cdot \left(\frac{x}{500}\right) + 1500 \cdot \left(\frac{x}{300}\right) = 32 \cdot 1500$
$3x + 5x = 48000$
$8x = 48000$

Теперь найдем значение $x$:
$x = \frac{48000}{8}$
$x = 6000$

Мы нашли, что масса половины конфет составляет 6000 грамм. Общая масса конфет равна $2x$:
$2 \cdot 6000 = 12000$ грамм.

В вопросе требуется указать ответ в килограммах. Переведем граммы в килограммы (1 кг = 1000 г):
$\frac{12000}{1000} = 12$ кг.

Ответ: 12 кг.